Question

如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x²﹣14x+48=0的两个实数根．

（1）求C点坐标；
（2）求直线MN的解析式；
（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．

Answer 1

（1）C（0，6）；（2）y=-x+6;（3）P₁（4，3），P₂(-，)，P₃(，)，P₄（，-）.

解析试题分析：
（1）通过解方程x²﹣14x+48=0可以求得OC=6，OA=8．则C（0，6）；
（2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0）．把点A、C的坐标分别代入解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组即可求得它们的值；
（3）需要分类讨论：PB为腰，PB为底两种情况下的点P的坐标．根据等腰三角形的性质、两点间的距离公式以及一次函数图象上点的坐标特征进行解答．
试题解析：
（1）解方程x²-14x+48=0得
x₁=6，x₂=8
∵OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x²-14x+48=0的两个实数根
∴OC=6，OA=8
∴C（0，6）
（2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0）
由（1）知，OA=8，则A（8，0）
∵点A、C都在直线MN上
∴
解得，
∴直线MN的解析式为y=-x+6
（3）

∵A（8，0），C（0，6）
∴根据题意知B（8，6）
∵点P在直线MN y=-x+6上
∴设P（a，--a+6）
当以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论：
①当PC=PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点，则P₁（4，3）；
②当PC=BC时，a²+（-a+6-6）²=64
解得，a=±，则P₂（-，），P₃（，）
③当PB=BC时，（a-8）²+（-a+6-6）²=64
解得，a=，则-a+6=-
∴P₄（，）
综上所述，符合条件的点P有：P₁（4，3），P₂(-，)，P₃(，)，P₄（，-）
考点：一次函数综合题．