Question

【题目】如图， 是以为直径的上的点，，弦交于点.

(1)当是的切线时，求证: ；

(2)求证: ；

(3)已知，是半径的中点，求线段的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）DE＝

【解析】（1）由AB是直径，可得∠DAB+∠ABD＝90°，再根据 PB是⊙O的切线，可得∠ABD+∠PBD＝90°，根据同角的余角相等即可证得∠PBD＝∠DAB；

（2）证明△BCE∽△DCB，根据相似三角形对应边成比例可得BC2＝CECD，再根据CD=CE+DE经过推导即可得BC2- CE2= CEDE；

(3) 连接OC，由，AB是直径，可得∠AOC=∠BOC=90°，根据勾股定理则有CE=OE+CO， BC=OB+CO ，再根据OA=4 ，E 是半径 OA 的中点，继而可得BC=4，CE=2，再根据（2）中 BC-CE=CE·DE，即可求得DE的长.

（1）∵AB是直径，

∴∠ADB＝90°，即∠DAB+∠ABD＝90°，

又 ∵ PB是⊙O的切线，

∴PB⊥AB，

∴∠ABP＝90°，即∠ABD+∠PBD＝90°，

∴∠PBD＝∠DAB；

（2）∵，

∴∠BDC＝∠EBC，

又∵∠BCE＝BCD，

∴△BCE∽△DCB，

∴BC：CE=CD：BC，

∴BC2＝CECD，

∴BC2＝CE(CE+DE)，

∴BC2＝CE2+CEDE，

∴BC2- CE2= CEDE；

(3)如图，连接OC，

∵，AB是直径，

∴∠AOC=∠BOC=90°，

∴CE=OE+CO， BC=OB+CO ，

∵OA=4 ，E 是半径 OA 的中点，

∴BC=4，CE=2，

由（2）中 BC-CE=CE·DE，所以 DE=(BC-CE)÷CE=12÷2= ，

故 DE=.