Question

【题目】如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是第一象限抛物线上的点，连接OP交直线AB于点Q．设点P的横坐标为m，PQ与OQ的比值为y，求y与m的关系式，并求出PQ与OQ的比值的最大值；

（3）点D是抛物线对称轴上的一动点，连接OD、CD，设△ODC外接圆的圆心为M，当sin∠ODC的值最大时，求点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+x+3；（2）y=﹣m2+m，PQ与OQ的比值的最大值为；（3）点M的坐标为（﹣1，）或（﹣1，﹣）．

【解析】

（1）根据直线解析式求得点A、B的坐标，将两点的坐标代入抛物线解析式求解可得；

（2）过点P作y轴的平行线交AB于点E，据此知△PEQ∽△OBQ，根据对应边成比例得y=PE，由P（m，﹣m2+m+3）、E（m，﹣m+3）得PE=﹣m2+m，结合y=PE可得函数解析式，利用二次函数性质得其最大值；

（3）设CO的垂直平分线与CO交于点N，知点M在CO的垂直平分线上，连接OM、CM、DM，根据∠ODC=∠CMO=∠OMN、MC=MO=MD知sin∠ODC=sin∠OMN=，当MD取最小值时，sin∠ODC最大，据此进一步求解可得．

（1）在y=﹣x+3中，令y=0得x=4，令x=0得y=3，

∴点A（4，0）、B（0，3），

把A（4，0）、B（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得：

，

解得：，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+3；

（2）如图1，过点P作y轴的平行线交AB于点E，

则△PEQ∽△OBQ，

∴，

∵=y、OB=3，

∴y=PE，

∵P（m，﹣m2+m+3）、E（m，﹣m+3），

则PE=（﹣m2+m+3）﹣（﹣m+3）=﹣m2+m，

∴y=（﹣m2+m）=﹣m2+m=﹣（m﹣2）2+，

∵0＜m＜3，

∴当m=2时，y最大值=，

∴PQ与OQ的比值的最大值为；

（3）如图，由抛物线y=﹣x2+x+3易求C（﹣2，0），对称轴为直线x=1，

∵△ODC的外心为点M，

∴点M在CO的垂直平分线上，

设CO的垂直平分线与CO交于点N，连接OM、CM、DM，

则∠ODC=∠CMO=∠OMN、MC=MO=MD，

∴sin∠ODC=sin∠OMN=，

又MO=MD，

∴当MD取最小值时，sin∠ODC最大，

此时⊙M与直线x=1相切，MD=2，

MN==，

∴点M（﹣1，﹣），

根据对称性，另一点（﹣1，）也符合题意；

综上所述，点M的坐标为（﹣1，）或（﹣1，﹣）．