Question

在等边△ABC中，D、E分别在AC、BC上，且AD=CE=nAC，连AE、BD相交于P，过B作BQ⊥AE于点Q，连CP．
（1）∠BPQ=______，

PQ

BP

=______
（2）若BP⊥CP，求

AP

BP

；
（3）当n=______时，BP⊥CP？

Answer 1

（1）在△ACE和△BAD中，
CE=AD，
∠ACE=∠BAD=60°（等边三角形的三个内角都是60°），
AC=BA，
∴△ACE≌△BAD；
∴∠EAC=∠ABD，
∴∠BAP+∠EAC=∠BAP+∠ABD=60°，
∴∠BPQ=∠BAP+∠ABD=60°；
在三角形BPQ中，BQ⊥AE，
∴

PQ

BP

=cos∠BPQ=

1

2

；

（2）在BP上取BK=AP．连AK
∵△ACE≌△BAD，
∴∠CAE=∠ABD；
∵BK=AP，AB=CA，
∴△ACP≌△BAK，
∴∠BAK=∠ACP，
∴∠AKP=∠CPE=30°．
又∠APB=120°．
∴∠AKP=∠KAP=30°，
∴AP=PK，
∴

AP

BP

=

1

2

；

（3）过C点作CF⊥AE，交AE延长线于点F．
∵∠BPQ=60°，BP⊥CP，
∴∠CPF=30°，
∵CP=2CF，
∵∠PBQ=∠CPF=30°，∠BQP=∠PFC=90°，
∴△BPQ∽△PCF，
∴BQ：PC=PQ：CF，
∴BQ：PQ=2，
假设AD=1，则CD=1-n，
CD：AD=BQ：CE，
∴（1-n）：n=BQ：CE=2，
∴n=

1

3

．