Question

如图，在平面直角坐标系中，半径分别为3

3

和

3

的⊙O₁和⊙O₂外切于原点O，在x轴上方的两圆的外公切线AB与⊙O₁和⊙O₂分别切于点A、B，直线AB交y轴于点C．O₂D⊥O₁A于点D．
（1）求∠O₁O₂D的度数；
（2）求点C的坐标；
（3）求经过O₁、C、O₂三点的抛物线的解析式；
（4）在抛物线上是否存在点P，使△PO₁O₂为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）连接O₂B，

易证四边形ADO₂B为矩形
在Rt△O₂DO₁中，
O₁D=2

3

，O₁O₂=4

3

则∠O₁O₂D=30°，O₂D=6；

（2）由（1）得AB=O₂D=6
又∵AB、OC是⊙O₁、⊙O₂的切线
∴OC=AC=BC=3
∴点C的坐标为（0，3）

（3）由图知：O₁、O₂点的坐标为（-3

3

，0）、（

3

，0）
设过点O₁、O₂、C三点的抛物线的解析式为
y=ax²+bx+c
则有：

27a-3 3 b+c=0 3a+ 3 b+c=0 3=c

解之得：a=-

1

3

b=-

2

3

3

c=3
故抛物线的解析式为：y=-

1

3

x²+-

2

3

3

x+3

（4）存在
点C显然满足条件．
又根据抛物线的对称性知，点C关于x=-

3

的对称点也满足条件
即P点的坐标为（0，3）、（-2

3

，3）．