题目内容
【题目】定义:在平面直角坐标系中,图形G上点P(x,y)的纵坐标y与其横坐标x的差y-x称为点P的“坐标差”,而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”
(1)点A(2,6)的“坐标差”为________;
(2)求抛物线y=-x2+5.x+4的“特征值”;
(3)某二次函数y=-x2+bx+c(c≠0)的“特征值”为-1,点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点,且点B与点C的“坐标差”相等,求此二次函数的解析式;
(4)二次函数y=-x2+px+q的图象的顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上,四边形DEFO是矩形,点E的坐标为(7,3),点O为坐标原点,点D在x轴上点下在x轴上,当二次函数y=-x2+px+q的图象与矩形的边只有三个交点时,求此二次函数的解析式及特征值.
【答案】(1)4;(2)8;(3)y=-x2+3x-2;(4)y=-(x-5)2+7,
【解析】
(1)根据题目中的规定易得结论;
(2)根据定义求出y-x是关于x的二次函数,然后利用二次函数的性质求出结论;
(3)先求得抛物线与y轴的交点C(0,c),则点B的坐标为(-c,0),把点B的坐标代入二次函数解析式得到b=1-c,再将b=1-c代入二次函数解析式,求出特征值y-x的代数式,然后由坐标值为-1求出c的值,继而求出b的值,即可求出二次函数解析式;
(4)先求出“坐标差”为2的一次函数的解析式为y=x+2,由二次函数y=-x2+px+q的图象的顶点在直线y=x+2上,用顶点式可设二次函数为y=-(x-m)2+m+2.在两种情况下二次函数的图象与矩形只有三个交点:①抛物线顶点在直线y=x+2与FE的交点上时(如图①);②抛物线右侧部分经过点E时(如图②).然后分别把(1,3)、(7,3)分别代入y=-(x-m)2+m+2,解得m的值,即可求出二次函数解析式,继而求出其特征值.
(1)根据“坐标差”的定义得:6-2=4;
(2)y-x=-x2+5x+4-x=-x2+4x+4=-(x-2)2+8,特征值是8
(3)由题意,得点C的坐排为(0,c),
∵点B与点C的“坐标差”相等,
∴B(-c.0),把B(-c,0)代入y=-x2+bx+c,得0=-(-c)2+b×(-c)+c,
∴b=1-c,
∴y=-x2+(1-c)x+c,
∵二次函数y=-x2+(1-c)x+c的“特征值”为-1.
∴y-x=-x2+(1-c)x+c-x=-x2-cx+c,
∴=-1,
∴c=-2,
∴b=3,
∴二次函数的解析式为y=-x2+3x-2
(4)解:“坐标差”为2的一次函数为y=x+2,
∵二次函数y=-x2+px+q的图象的顶点在直线y=x+2上,
∴设二次函数为y=-(x-m)2+m+2,
二次函数的图象与矩形有三个交点,如图①、②,把(1,3)代入y=-(x-m)2+m+2,得3=-(1-x)2+m+2,解得m1=1,m2=2(合去),
∴二次函数的解新式为y=-(x-1)2+3,
∴y-x=-(x-1)2+3-x=-x2+x+2=-(x-)2+,特征值是;
把(7,3)代入y=-(x-m)2+m+2,得3=-(7-m)2+m+2,解得m1=5,m2=10(舍去),
二次函数的解析或为y=-(x-5)2+7,
∴y-x=-(x-5)2+7-x=-x2+9x-18=-(x-)2+,特征值是.