题目内容

【题目】定义:在平面直角坐标系中,图形G上点Pxy)的纵坐标y与其横坐标x的差y-x称为点P坐标差,而图形G上所有点的坐标差中的最大值称为图形G特征值

1)点A26)的坐标差________

2)求抛物线y=-x2+5.x+4特征值

3)某二次函数y=-x2+bx+cc0)的特征值-1,点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点,且点B与点C坐标差相等,求此二次函数的解析式;

4)二次函数y=-x2+px+q的图象的顶点在坐标差2的一次函数的图象上,四边形DEFO是矩形,点E的坐标为(73),点O为坐标原点,点Dx轴上点下在x轴上,当二次函数y=-x2+px+q的图象与矩形的边只有三个交点时,求此二次函数的解析式及特征值.

【答案】14;(28;(3y=-x2+3x-2;(4y=-x-52+7

【解析】

1)根据题目中的规定易得结论;

2)根据定义求出y-x是关于x的二次函数,然后利用二次函数的性质求出结论;

3)先求得抛物线与y轴的交点C0c),则点B的坐标为(-c0,把点B的坐标代入二次函数解析式得到b=1-c,再将b=1-c代入二次函数解析式,求出特征值y-x的代数式,然后由坐标值为-1求出c的值,继而求出b的值,即可求出二次函数解析式;

4)先求出坐标差2的一次函数的解析式为y=x+2,由二次函数y=-x2+px+q的图象的顶点在直线y=x+2上,用顶点式可设二次函数为y=-x-m2+m+2.在两种情况下二次函数的图象与矩形只有三个交点:①抛物线顶点在直线y=x+2FE的交点上时(如图①);②抛物线右侧部分经过点E时(如图②).然后分别把(13)、(73)分别代入y=-x-m2+m+2,解得m的值,即可求出二次函数解析式,继而求出其特征值.

1)根据坐标差的定义得:6-2=4

2y-x=-x2+5x+4-x=-x2+4x+4=-x-22+8,特征值是8

3)由题意,得点C的坐排为(0c),

∵点B与点C坐标差相等,

B-c.0),把B-c0)代入y=-x2+bx+c,得0=--c2+b×-c+c

b=1-c

y=-x2+1-cx+c

∵二次函数y=-x2+1-cx+c特征值-1.

y-x=-x2+(1-c)x+c-x=-x2-cx+c

=-1

c=-2

b=3

∴二次函数的解析式为y=-x2+3x-2

4)解:坐标差2的一次函数为y=x+2

∵二次函数y=-x2+px+q的图象的顶点在直线y=x+2上,

∴设二次函数为y=-x-m2+m+2

二次函数的图象与矩形有三个交点,如图①、②,把(13)代入y=-x-m2+m+2,得3=-1-x2+m+2,解得m1=1m2=2(合去),

∴二次函数的解新式为y=-x-12+3

y-x=-x-12+3-x=-x2+x+2=-x-2+,特征值是

把(73)代入y=-x-m2+m+2,得3=-7-m2+m+2,解得m1=5m2=10(舍去),

二次函数的解析或为y=-x-52+7

y-x=-(x-5)2+7-x=-x2+9x-18=-x-2+,特征值是.

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