Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=x-3，与x轴交于点A，与y轴交于点B；等腰直角△PQC中，PQ=PC；点P在x轴上，点Q在y轴上，点C在直线AB上，且位于点A的上方．
（1）如果点C的坐标为（5，m），求出点Q的坐标；
（2）如果点C的坐标为（x，y）（x＞y），求出点Q的坐标；
（3）把直线AB向下平移b（b＞0）个单位，请求出点Q的坐标（直接写出结果）．

Answer 1

解：（1）∵点C在直线y=x-3上，C的坐标是（5，m），
∴m=5-3=2，
即C（5，2），
过C作CM⊥x轴于M，
则CM=2，OM=5，
∵△PQC是等腰直角三角形，
∴∠QPC=90°，PQ=PC，
∵∠QOP=∠CMP=90°，
∴∠OQP+∠OPQ=90°，∠OPQ+∠CPM=90°，
∴∠CPM=∠OQP，
在△OQP和△MPC中
∵，
∴△OQP≌△MPC，
∴OQ=PM，OP=CM=2，
∴OQ=PM=5-2=3，
∴Q的坐标是（0，3）；

（2）∵C（x，y），
∴CM=y，OM=x，
由（1）得：OP=CM=y，OQ=PM=x-y，
∴Q的坐标是（0，x-y）；

（3）∵把直线AB（y=x-3）向下平移b（b＞0）个单位，
∴平移后的解析式是y=x-3-b，
∴设C的坐标是（x，x-3-b）．
由（1）知：OQ=PM，OP=CM=x-3-b，
∴OQ=PM=x-（x-3-b）=3+b，
∴Q的坐标是（0，3+b）．
分析：（1）把点C的坐标（5，m）代入y=x-3求出m，得出C的坐标，证△OQP≌△MPC，得出OP=CM，OQ=PM，根据C的坐标即可求出Q的坐标；
（2）根据全等得出OQ=PM，OP=CM，代入即可求出答案；
（3）平移后的直线的解析式是y=x-3-b，设C的坐标是（x，x-3-b），根据全等得出OQ=PM，OP=CM，代入即可求出答案．
点评：本题考查了一次函数，平移的规律，全等三角形的性质和判定等知识点，平移的规律是上加下减、左加右减，题目比较好，有一定的难度．