Question

【题目】在平面直角坐标系中，、为平面内不重合的两个点，若到、两点的距离相等，则称点是线段的“似中点”．

(1)已知，， 在点、、、中，线段的“似中点”是点 ．

(2)直线与轴交于点，与轴交于点．

①若点是线段的“似中点”，且在坐标轴．上，求点的坐标；

②若的半径为2，圆心为，若上存在线段的“似中点”，请直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）D，F；（2）①(1，0)和(0，)；②-3≤t≤5．

【解析】

（1）分别求出点A，B与点C，D，E，F的距离，再根据“似中点”的定义，进行判断即可；

（2）①由题意得：点H为MN的垂直平分线与坐标轴的交点，画出图形，根据含30°角的直角三角形的性质，即可求解；②设点P到H1H2的距离为h，则当h≤2时，上存在线段的“似中点”， h=，进而即可求出答案．

（1）∵，，、、、，

∴,

,

,

,

∴，,

∴线段的“似中点”是点D，F．

故答案是：D，F；

（2）①由题意可知：M(-1，0)，N(0，)，

∴∠NMO=60°，MN=，

∵点是线段的“似中点”，且在坐标轴上，

∴点H为MN的垂直平分线与坐标轴的交点，

∴∠MH1H2=30°，

∴H1M=2，

∴H1(1，0)，

∵OH2=OH1=，

∴H2(0，)，

综上所述，点的坐标为：(1，0)和(0，)；

②若上存在线段的“似中点”，则与线段MN的垂直平分线H1H2有公共点．

设点P到H1H2的距离为h，则当h≤2时，上存在线段的“似中点”，

∵∠H2H1O=30°，

∴h=H1P=，

∴≤2，解得：-3≤t≤5．