Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC、BC及AB的延长线交于点D、E、F，且BF=BC，⊙O是△BEF的外接圆，连接BD．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：DEAC=BECE．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，连接OB，

∵OB=OC，

∴∠2=∠3，

∵∠ABC=90°、D为AC的中点，

∴AD=CD=BD，∠3+∠4=90°，

∴∠1=∠5，

又∵∠ADF=∠ABC=90°，

∴∠1=90°﹣∠A、∠2=90°﹣∠A，

∴∠1=∠2，

则∠5=∠3，

∴∠5+∠4=90°，

∴BD是⊙O的切线；

（2）证明：在△ABC和△EBF中，

∵ ，

∴△ABC≌△EBF（ASA），

∴AB=BE，

∵∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠ECD，

∴△ABC∽△EDC，

∴ = ，即ABCE=DEAC，

∴BECE=DEAC．

【解析】（1）连接OB，由OB=OC知∠2=∠3，由Rt△ABC中D为AC中点知∠1=∠5，由∠ADF=∠ABC=90°知∠1=∠2，从而得∠5=∠3，根据∠3+∠4=90°可得答案；（2）先证△ABC≌△EBF得AB=BE，证△ABC∽△EDC得 = ，从而得出答案．
【考点精析】通过灵活运用线段垂直平分线的性质和三角形的外接圆与外心，掌握垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线；线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等；过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心即可以解答此题．