Question

【题目】如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），连接AP，过点B作BQ⊥AP交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交BA的延长线于点M．

（1）试探究AP与BQ的数量关系，并证明你的结论；
（2）当AB=3，BP=2PC，求QM的长；
（3）当BP=m，PC=n时，求AM的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：AP=BQ．

理由：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，

∴∠ABQ+∠CBQ=90°．

∵BQ⊥AP，∴∠PAB+∠QBA=90°，∴∠PAB=∠CBQ．

在△PBA和△QCB中，

，

∴△PBA≌△QCB，

∴AP=BQ

（2）解：过点Q作QH⊥AB于H，如图．

∵四边形ABCD是正方形，

∴QH=BC=AB=3．

∵BP=2PC，

∴BP=2，PC=1，

∴BQ=AP= = = ，

∴BH= = =2．

∵四边形ABCD是正方形，

∴DC∥AB，

∴∠CQB=∠QBA．

由折叠可得∠C′QB=∠CQB，

∴∠QBA=∠C′QB，

∴MQ=MB．

设QM=x，则有MB=x，MH=x﹣2．

在Rt△MHQ中，

根据勾股定理可得x2=（x﹣2）2+32，

解得x= ．

∴QM的长为

（3）解：过点Q作QH⊥AB于H，如图．

∵四边形ABCD是正方形，BP=m，PC=n，

∴QH=BC=AB=m+n．

∴BQ2=AP2=AB2+PB2，

∴BH2=BQ2﹣QH2=AB2+PB2﹣AB2=PB2，

∴BH=PB=m．

设QM=x，则有MB=QM=x，MH=x﹣m．

在Rt△MHQ中，

根据勾股定理可得x2=（x﹣m）2+（m+n）2，

解得x=m+n+ ，

∴AM=MB﹣AB=m+n+ ﹣m﹣n= ．

∴AM的长为 ．

【解析】（1）由正方形的性质得出AB=BC，∠ABC=∠C=90°，由同角的余角相等得出∠PAB=∠CBQ．进而利用ASA得出△PBA≌△QCB，，由全等三角形对应边相等得出结论；
（2）过点Q作QH⊥AB于H，由正方形的性质得出QH=BC=AB=3．结合已知 条件得出BP=2，PC=1，进而根据勾股定理求出BH的长，再由折叠的性质得到∠C′QB=∠CQB，从而得到MQ=MB，设QM=x，则有MB=x，MH=x﹣2，在Rt△MHQ中，根据勾股定理得出方程，解方程得到x的值，即可；
（3）过点Q作QH⊥AB于H，由正方形的性质得出QH=BC=AB=m+n,结合已知 条件得出BP=m，PC=n，进而根据勾股定理求出BH的长，再由折叠的性质得到∠C′QB=∠CQB，从而得到MQ=MB，设QM=x，则有MB=x，MH=x﹣m，在Rt△MHQ中，根据勾股定理得出方程，解方程得到x的值，即可；

【考点精析】利用勾股定理的概念和正方形的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．