题目内容

如图,已知直线AB与x轴、y轴分别交于A和B,OA=4,且OA、OB长是关于x的方程x2﹣mx+12=0的两实根,以OB为直径的⊙M与AB交于C,连接CM并延长交x轴于N.
(1)求⊙M的半径.
(2)求线段AC的长.
(3)若D为OA的中点,求证:CD是⊙M的切线.

(1) ;(2) ;(3)证明见解析.

解析试题分析:(1)由OA、OB长是关于x的方程x2﹣mx+12=0的两实根,得OA•OB=12,而OA=4,所以OB=3,又由于OB为⊙M的直径,即可得到⊙M的半径.
(2)连接OC,根据OB是⊙M直径,得到OC⊥BC,利用面积相等得到OC•AB=OA•OB可以求得OC的长,然后利用勾股定理求得AC的长即可.
(3)连MD,OC,由OB为⊙M的直径,得∠OCB=90°,则∠OCD=90°,由于D为OA的中点,所以CD=OA=OD,因此可证明△MCD≌△MOD,所以∠MCD=∠MOD=90°,即CD是⊙M的切线.
试题解析:(1)∵OA=4∴A(4,0)
又OA•OB长是x2﹣mx+12=0的两根
∴OA•OB=12∴OB=3  故B(0,3)
∵OB为直径
∴半径MB=;
(2)连接OC

∵OB是⊙M直径
∴OC⊥BC
∴OC•AB=OA•OB
∵AB=="5"
∴OC•5=3•4
∴OC= 
∴AC= 
(3)∵OM=MC∴∠MOC=∠MCO
又CD是Rt△OCA斜边上中线
∴DC=DO
∴∠DOC=∠DCO
∵∠DOC+∠MOC=90°
∴∠MCO+∠DCO=90°
∴DC⊥MC
∴CD是⊙M的切线             
考点:一次函数综合题.

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