Question

【题目】已知等边三角形ABC中，E是AB边上一动点（与A、B不重合），D是CB延长线上的一点，且DE=EC．
（1）当E是AB边上中点时，如图1，线段AE与DB的大小关系是：AEDB（填“＞”，“＜”或“=”）

（2）当E是AB边上任一点时，小敏与同桌小聪讨论后，认为（1）中的结论依然成立，并进行了如下解答：解：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F
（请你按照上述思路，补充完成全部解答过程）

（3）当E是线段AB延长线上任一点时，如图3．（1）中的结论是否依然成立？若成立，请证明．若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）=
（2）

解：∵EF∥BC，

∴△AEF是等边三角形，

∴AB﹣AE=AC﹣AF，即BE=CF，

∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°，∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°，

∵DE=EC，

∴∠EDB=∠ECB，

∴∠BED=∠FCE，

在△DBE和△EFC中，

，

∴△DBE≌△EFC，

∴DB=EF=AE；

（3）

解：如图3，作EF∥AC交BD于F，

则△BEF为等边三角形，

∴∠EFB=∠EBF=60°，

∴∠EFD=∠EBC=120°，

∵DE=EC，

∴∠EDB=∠ECB，

在△DEF和△CEB中，

，

∴△DEF≌△CEB，

∴DF=BC，

∴DF+FB=AB+BE，

∴BD=AE．

【解析】解：（1）∵△ABC是等边三角形，E是AB边上中点，
∴AE=BE，∠BCE= ∠BCA=30°，
∵DE=EC，
∴∠EDB=∠ECB=30°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BED=30°，
∴∠EDB=∠BED，
∴BD=BE，
∴BD=AE，
所以答案是：=；
【考点精析】解答此题的关键在于理解等边三角形的性质的相关知识，掌握等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°．