Question

如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，4）、B（2，0），在第一象限内的点C，使△ABC为等腰直角三角形，则点C的坐标为

（6，2）或（4，6）或（3，3）

．

Answer 1

分析：分别从当∠ABC=90°，AB=BC时，当∠BAC=90°，AB=AC时与当∠ACB=90°，AC=BC时去分析求解，利用全等三角形的判定与性质，即可求得点C的坐标．

解答：解：如图①，当∠ABC=90°，AB=BC时，
过点C作CD⊥x轴于点D，
∴∠CDB=∠AOB=90°，
∵∠OAB+∠ABO=90°，∠ABO+∠CBD=90°，
∴∠OAB=∠CBD，
在△AOB和△BDC中，

∠AOB=∠BDC ∠OAB=∠CBD AB=BC

，
∴△AOB≌△BDC（AAS），
∴BD=OA=4，CD=OB=2，
∴OD=OB+BD=6，
∴点C的坐标为（6，2）；
如图②，当∠BAC=90°，AB=AC时，
过点C作CD⊥y轴于点D，
同理可证得：△OAB≌△DCA，
∴AD=OB=2，CD=OA=4，
∴OA=OA+AD=6，
∴点C的坐标为（4，6）；
如图③，当∠ACB=90°，AC=BC时，
过点C作CD⊥y轴于D，CE⊥x轴于E．
∵∠BCA=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，

∠ADC=∠CEB=90° ∠ACD=∠BCE AC=BC

，
∴△ACD≌△BCE（AAS），
∴CD=CE=OE，AD=BE，
∵AB=

OA2+OB2

=2

5

，
∴AC=

2

2

AB=

10

，
∵CE²+（CE-2）²=AC²=10，
解得CE=3或-1（不合题意舍去）．
则点C坐标为（3，3）；
综上可得：点C的坐标为：（6，2）或（4，6）或（3，3）．
故答案为：（6，2）或（4，6）或（3，3）．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．