题目内容
23、已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a4+b2c2=b4+a2c2，试判断△ABC的形状．阅读下面解题过程：
解：由a4+b2c2=b4+a2c2得：
a4-b4=a2c2-b2c2①
（a2+b2）（a2-b2）=c2（a2-b2） ②
即a2+b2=c2③
∴△ABC为Rt△． ④
试问：以上解题过程是否正确：
若不正确，请指出错在哪一步？（填代号）
错误原因是
本题的结论应为
解：由a4+b2c2=b4+a2c2得：
a4-b4=a2c2-b2c2①
（a2+b2）（a2-b2）=c2（a2-b2） ②
即a2+b2=c2③
∴△ABC为Rt△． ④
试问：以上解题过程是否正确：
不正确
若不正确，请指出错在哪一步？（填代号）
③
错误原因是
漏掉了a=b时的情况
本题的结论应为
△ABC为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形
．分析：由于②到③时等式两边都除以了a2-b2，如果a2-b2=0，根据等式的性质可知，此时不一定有③成立．
解答：解：由a4+b2c2=b4+a2c2得：
a4-b4=a2c2-b2c2，
（a2+b2）（a2-b2）=c2（a2-b2），
∴（a2+b2）（a2-b2）-c2（a2-b2）=0，
∴（a2-b2）（a2+b2-c2）=0，
∴（a2-b2）=0或a2+b2-c2=0或（a2-b2）（a2+b2-c2）=0，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．
a4-b4=a2c2-b2c2，
（a2+b2）（a2-b2）=c2（a2-b2），
∴（a2+b2）（a2-b2）-c2（a2-b2）=0，
∴（a2-b2）（a2+b2-c2）=0，
∴（a2-b2）=0或a2+b2-c2=0或（a2-b2）（a2+b2-c2）=0，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．
点评：本题主要考查了等式的性质以及等腰三角形、直角三角形的判定．
等式的性质：等式的两边乘以或除以同一个不等于0的数，所得结果仍是等式．
等式的性质：等式的两边乘以或除以同一个不等于0的数，所得结果仍是等式．
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