Question

如图，在等腰中，，为斜边上的动点，若，交于、于.
小题1:如图1，若时，则=           ；
小题2:如图2，若时，求证：
小题3:如图3，当=          时，.

Answer 1

 
小题1:过C作CG⊥AC交AD的延长线与G点，如图1所示：

∵CG⊥AC，
∴CG∥AB．
∴△ABD∽△GCD．
∴．
∵AB=AC，
∴=．
∴tan∠EAF=．
∴=．
∵在Rt△ABF中，△AEF∽△BAF，
∴．
∴．     (3分)
小题2:过D作DG∥BF交AC于G点，如图2所示：

∵CD：DB=1：2，
∴CG：GF=1：2．
∵由第一问知AF：AC=CD：BD=1：2，
∴AF：FC=1：1．
∴AF：FG=3：2．
∴AE：ED=3：2．
∴DE=AE．    （8分）
小题3:过D作DG∥BF交AC于G点，如图3所示：
 
CD：BD=AF：AC=1：n，
CG：GF=1：n，
设CG=k，则：
GF=nk，
∵AE=2DE，
∴AF=2FG．
∴AF=2nk．
∴AC=3nk+k．
∵AC=nAF，
∴3nk+k=2n²k．
∴n=．  （12分）

主要是考查辅助线的做法和相似三角形的判定和性质定理。