题目内容

【题目】已知二次函数y=x2+2x+x轴有两个交点,且k为正整数.

1)求k的值;

2)当二次函数y=x2+2x+图象经过原点时,直线y=3x+2与之交于AB两点,若M是抛物线上在直线y=3x+2下方的一个动点,MAB面积是否存在最大值?若存在,请求出M点坐标,并求出MAB面积最大值;若不存在,请说明理由.

3)将(2)中的二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,图象的其余部分保持不变,翻折后的图象与原图象x轴上方的部分组成一个新图象.若直线y=kx+2k>0)与该新图象恰好有三个公共点,求k的值.

【答案】(1)k12

(2)M坐标为SMAB=

(3)k=1时,与该新图象恰好有三个公共点.

【解析】试题分析:1)利用一元二次方程根的判别式可得到关于k的不等式,利用k为正整数可求得k的值;
2)由条件可求得k的值,则可求得二次函数解析式,可求得AB坐标,利用二次函数的性质可求得线段MN的最大值及此时点M的坐标;
3)可画出二次函数的图象,当直线过A点时,可知直线与抛物线有三个公共点,当直线不过A点时,结合函数图象,利用方程可求得对应的b的值.

试题解析:(1二次函数y=x2+2x+x轴有两个交点

∴Δ=

k﹣12

k3

k为正整数,

k12

2)把x=0代入方程x2+2x+k=1

此时二次函数为y=x2+2x

此时直线y=3x+2与二次函数y=x2+2x的交点为A﹣1-1),B28

设与直线y=3x+2平行的直线为y=3x+b,列方程组得: 即:x2-x-b=0=b2-4ac=1+4b=0,所以b=时有一个交点,代入求得交点M坐标为( ).

过点MMNx轴交直线AB于点N,点N坐标为( ).

MN=.

SMAB=MN(yB-yA)=

3)由于新图象的封闭部分与原图象的封闭部分关于x轴对称,所以其解析式为y=﹣x2﹣2x

当直线与新图象有3个公共点(如图所示),直线为l1 l2,其中l1 过点Cl2与翻转部分图象有一个交点.分为以下两种情况:

直线l1y=kx+2过点C-20),代入y=kx+2得:k=1.

直线l2

有一组解,此时有两个相等的实数根,

=0,解得: (舍去)

综上所述k=1时,与该新图象恰好有三个公共点.

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