题目内容
【题目】已知二次函数y=x2+2x+与x轴有两个交点,且k为正整数.
(1)求k的值;
(2)当二次函数y=x2+2x+图象经过原点时,直线y=3x+2与之交于A、B两点,若M是抛物线上在直线y=3x+2下方的一个动点,△MAB面积是否存在最大值?若存在,请求出M点坐标,并求出△MAB面积最大值;若不存在,请说明理由.
(3)将(2)中的二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,图象的其余部分保持不变,翻折后的图象与原图象x轴上方的部分组成一个新图象.若直线y=kx+2(k>0)与该新图象恰好有三个公共点,求k的值.
【答案】(1)k为1,2;
(2)M坐标为,S△MAB=;
(3)k=1或时,与该新图象恰好有三个公共点.
【解析】试题分析:(1)利用一元二次方程根的判别式可得到关于k的不等式,利用k为正整数可求得k的值;
(2)由条件可求得k的值,则可求得二次函数解析式,可求得A、B坐标,利用二次函数的性质可求得线段MN的最大值及此时点M的坐标;
(3)可画出二次函数的图象,当直线过A点时,可知直线与抛物线有三个公共点,当直线不过A点时,结合函数图象,利用方程可求得对应的b的值.
试题解析:(1)∵二次函数y=x2+2x+与x轴有两个交点
∴Δ=
∴k﹣1<2.
∴k<3.
∵k为正整数,
∴k为1,2.
(2)把x=0代入方程x2+2x+得k=1,
此时二次函数为y=x2+2x,
此时直线y=3x+2与二次函数y=x2+2x的交点为A(﹣1,-1),B(2,8)
设与直线y=3x+2平行的直线为y=3x+b,列方程组得: 即:x2-x-b=0,△=b2-4ac=1+4b=0,所以b=时有一个交点,代入求得交点M坐标为(, ).
过点M作MN∥x轴交直线AB于点N,点N坐标为(, ).
∴MN=.
∴S△MAB=MN(yB-yA)=
(3)由于新图象的封闭部分与原图象的封闭部分关于x轴对称,所以其解析式为y=﹣x2﹣2x,
当直线与新图象有3个公共点(如图所示),直线为l1 、l2,其中l1 过点C,l2与翻转部分图象有一个交点.分为以下两种情况:
①直线l1:y=kx+2过点C(-2,0),代入y=kx+2得:k=1.
②直线l2:
则有一组解,此时有两个相等的实数根,
即△=0,解得: , (舍去)
综上所述k=1或时,与该新图象恰好有三个公共点.