题目内容
如图，在平面直角坐标系中，点A1是以原点O为圆心，半径为2的圆与过点（0，1）且平行于x轴的直线l1的一个交点；点A2是以原点O为圆心，半径为3的圆与过点（0，2）且平行于x轴的直线l2的一个交点；点A3是以原点O为圆心，半径为4的圆与过点（0，3）且平行于x轴的直线l3的一个交点；点A4是以原点O为圆心，半径为5的圆与过点（0，
4）且平行于x轴的直线l4的一个交点（1）分别求出A1、A2、A3、A4四点的坐标；
（2）按照这样的规律进行下去，猜想、归纳点An的坐标为
（3）A1、A2、A3、A4四点在同一条直线上吗？如果在，求出该直线的解析式，如果不在，试判断这四个点所在的函数图象，并证明你的结论．
分析：在（1）中，可连接OA1，OA2，OA3，
在直角三角形OA1M中，可得出A1B=
=
，因此A1（
，1）；
在直角三角形OA2N中，可得出A2C=
=
，因此A2（
，2）；
在直角三角形OA3Q中，可得出A3D=
=
，因此A3（
，3）；
…
（2）根据（1）题，易求出An（
，n），即An（
，n）；
（3）题已知了An的横坐标和纵坐标的表达式，可联立两个含n的表达式，消去n后即可得出四点所在函数的解析式．
在直角三角形OA1M中，可得出A1B=
| 22-1 |
| 3 |
| 3 |
在直角三角形OA2N中，可得出A2C=
| 32-22 |
| 5 |
| 5 |
在直角三角形OA3Q中，可得出A3D=
| 42-32 |
| 7 |
| 7 |
…
（2）根据（1）题，易求出An（
| (n+1)2-n2 |
| 2n+1 |
（3）题已知了An的横坐标和纵坐标的表达式，可联立两个含n的表达式，消去n后即可得出四点所在函数的解析式．
解答：
解：（1）A1（
，1）、A2（
，2）、A3（
，3）、A4（3，4）；
（2）An（
，n）；
（3）不在同一条直线上，四点在抛物线上
令
．
消去n得y=
x2-
，
该函数为二次函数，其图象是抛物线．
解：（1）A1（| 3 |
| 5 |
| 7 |
（2）An（
| 2n+1 |
（3）不在同一条直线上，四点在抛物线上
令
|
消去n得y=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
该函数为二次函数，其图象是抛物线．
点评：本题结合圆的相关知识考查了动态性和规律性问题，找出点A的坐标的规律是解题的关键．
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