Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB上的一点，且CD=AC=3，AB=4，求cosB，sin∠ADC及cos

1

2

∠DCA的值．

Answer 1

分析：在直角三角形ABC中，由直角边AC及斜边AB的长，利用勾股定理求出直角边BC的长，根据锐角三角形函数的定义：一个角的余弦等于这个角的邻边比斜边，可求出cosB的值，同时A和B互余，可得sinA=cosB，由cosB的值得出sinA的值，由CD=AC，根据等边对等角可得∠ADC=∠A，故sin∠ADC的值即为sinA的值，过C作底边AD的垂线，根据三线合一得到CE为顶角的平分线，再由垂直定义得到∠AEC=90°，可得三角形AEC为直角三角形，根据直角三角形的两个锐角互余得出cos

1

2

∠ACD即cos∠ACE，即为sinA的值，由sinA的值即可求出所求的cos

1

2

∠ACD的值．

解答：解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，AC=3，AB=4，
∴BC=

AB2-AC2

=

7

，…（1分）
∴cosB=sinA=

BC

AB

=

7

4

；…（2分）
∵CD=AC，
∴∠ADC=∠A，
∴sin∠ADC=sinA=

7

4

；…（3分）
过点C作CE⊥AD于E，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE+∠A=90°，
又CD=AC，CE⊥AD，
∴CE为∠ACD的平分线，即∠ACE=

1

2

∠DCA，
∴cos

1

2

∠DCA=cos∠ACE=sinA=

7

4

． …（5分）

点评：此题属于解直角三角形的题型，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，等腰三角形的性质，以及直角三角形的性质，其中当A和B互余时，根据锐角三角形函数定义可得sinA=cosB，cosA=sinB，熟练掌握此性质是解本题的关键．