题目内容

如图,在平面直角坐标系中,点P从原点O出发,沿x轴向右以毎秒1个单位长精英家教网的速度运动t秒(t>0),抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P,已知矩形ABCD的三个顶点为 A (1,0),B (1,-5),D (4,0).
(1)求c,b (用含t的代数式表示):
(2)当4<t<5时,设抛物线分别与线段AB,CD交于点M,N.
①在点P的运动过程中,你认为∠AMP的大小是否会变化?若变化,说明理由;若不变,求出∠AMP的值;
②求△MPN的面积S与t的函数关系式,并求t为何值时,S=
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(3)在矩形ABCD的内部(不含边界),把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分,请直接写出t的取值范围.
分析:(1)由抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P,将点O与P的坐标代入方程即可求得c,b;
(2)①当x=1时,y=1-t,求得M的坐标,则可求得∠AMP的度数,
②由S=S四边形AMNP-S△PAM=S△DPN+S梯形NDAM-S△PAM,即可求得关于t的二次函数,列方程即可求得t的值;
(3)根据图形,即可直接求得答案.
解答:精英家教网解:(1)把x=0,y=0代入y=x2+bx+c,得c=0,
再把x=t,y=0代入y=x2+bx,得t2+bt=0,
∵t>0,
∴b=-t;

(2)①不变.
∵抛物线的解析式为:y=x2-tx,且M的横坐标为1,
∴当x=1时,y=1-t,
∴M(1,1-t),
∴AM=|1-t|=t-1,
∵OP=t,
∴AP=t-1,
∴AM=AP,
∵∠PAM=90°,
∴∠AMP=45°;
②S=S四边形AMNP-S△PAM=S△DPN+S梯形NDAM-S△PAM
=
1
2
(t-4)(4t-16)+
1
2
[(4t-16)+(t-1)]×3-
1
2
(t-1)(t-1)
=
3
2
t2-
15
2
t+6.
3
2
t2-
15
2
t+6=
21
8

得:t1=
1
2
,t2=
9
2

∵4<t<5,
∴t1=
1
2
舍去,
∴t=
9
2


(3)
7
2
<t<
11
3

①左边4个好点在抛物线上方,右边4个好点在抛物线下方:无解;
②左边3个好点在抛物线上方,右边3个好点在抛物线下方:
则有-4<y2<-3,-2<y3<-1即-4<4-2t<-3,-2<9-3t<-1,
7
2
<t<4且
10
3
<t<
11
3
,解得
7
2
<t<
11
3

③左边2个好点在抛物线上方,右边2个好点在抛物线下方:无解;
④左边1个好点在抛物线上方,右边1个好点在抛物线下方:无解;
⑤左边0个好点在抛物线上方,右边0个好点在抛物线下方:无解;
综上所述,t的取值范围是:
7
2
<t<
11
3
点评:此题考查了二次函数与点的关系,以及三角形面积的求解方法等知识.此题综合性很强,难度适中,解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用.
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