题目内容
如图①,抛物线y=ax2+bx+5交x轴于A、B,交y轴于C,抛物线的顶点D的横坐标为4,OA•OC=OB.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图②,若P为抛物线上一动点,PQ∥y轴交直线l:y=
x+9于点Q,以PQ为对角线作矩形且使得矩形的一边在直线l上,问是否存在这样一点P使得矩形的面积最小?若存在,求其最小值;若不存在,请说明理由
(3)如图③,将直线向下平移m个单位(m>9),设平移后的直线交抛物线于M、N两点(点M在点N左边),M关于原点的对称点为M′,连接M′N,问M′N在x轴上的正投影是否为定值?若为定值,求其值;若不是定值,请说明理由.
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201212/43/c2e4470d.png)
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图②,若P为抛物线上一动点,PQ∥y轴交直线l:y=
3 | 4 |
(3)如图③,将直线向下平移m个单位(m>9),设平移后的直线交抛物线于M、N两点(点M在点N左边),M关于原点的对称点为M′,连接M′N,问M′N在x轴上的正投影是否为定值?若为定值,求其值;若不是定值,请说明理由.
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201212/43/c2e4470d.png)
分析:(1)根据抛物线求出点C的坐标为(0,5),从而得到OC的长度是5,然后得到点B的横坐标是点A的横坐标的5倍,再根据顶点的横坐标列式求出点A、B的坐标,然后利用待定系数法求二次函数解析式解答即可;
(2)根据直线l的解析式表示出矩形的长与宽与PQ的关系,然后表示出矩形的面积,再根据直线与抛物线的解析式表示出PQ,然后根据二次函数的最值问题求出PQ,再代入进行计算即可得解;
(3)先表示出M′N在x轴上的正投影,再根据向下平移纵坐标减表示出平移后的直线解析式,然后与抛物线联立,消掉y得到关于x的一元二次方程,再根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数用点M的坐标表示出点M′的横坐标,然后根据正投影的定义,表示出点M′N的横坐标的差值即可得解.
(2)根据直线l的解析式表示出矩形的长与宽与PQ的关系,然后表示出矩形的面积,再根据直线与抛物线的解析式表示出PQ,然后根据二次函数的最值问题求出PQ,再代入进行计算即可得解;
(3)先表示出M′N在x轴上的正投影,再根据向下平移纵坐标减表示出平移后的直线解析式,然后与抛物线联立,消掉y得到关于x的一元二次方程,再根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数用点M的坐标表示出点M′的横坐标,然后根据正投影的定义,表示出点M′N的横坐标的差值即可得解.
解答:解:(1)令x=0,则y=5,
所以,点C的坐标为(0,5),OC=5,
∵OA•OC=OB,
∴5OA=OB,
∴-5xA=xB,①
∵抛物线的顶点D的横坐标为4,
∴
=4,②
①、②联立解得,xA=-2,xB=10,
∴点A(-2,0),B(10,0),
∵抛物线y=ax2+bx+5交x轴于A、B,
∴
,
解得
,
所以,抛物线解析式为y=-
x2+2x+5;
(2)∵以PQ为对角线的矩形的一边在直线l:y=
x+9上,
=5,![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201301/49/07beb1bb.png)
∴矩形的长、宽分别为
PQ,
PQ,
∴矩形的面积为
PQ•
PQ=
PQ2,
∵点P在抛物线y=-
x2+2x+5上,点Q在直线y=
x+9上,
∴PQ=xQ-xP=
x+9-(-
x2+2x+5)=
x2-
x+4=
(x2-5x+
)-
+4=
(x-
)2+
,
∴当x=
时,PQ有最小值为
,
故矩形面积的最小值为
×(
)2=
;
(3)是定值5.
理由如下:设M′N在x轴上的正投影为EF,则EF等于点N的横坐标减去点M′的横坐标,
∵直线y=
x+9向下平移m个单位,
∴平移后的直线解析式为y=
x+9-m,
联立
,
消掉y得,
x2-
x+4-m=0,
∵点M与点M′关于原点对称,
∴点M′的横坐标与点M的横坐标互为相反数,
∴EF=-
=5,是定值.
所以,点C的坐标为(0,5),OC=5,
∵OA•OC=OB,
∴5OA=OB,
∴-5xA=xB,①
∵抛物线的顶点D的横坐标为4,
∴
xA+xB |
2 |
①、②联立解得,xA=-2,xB=10,
∴点A(-2,0),B(10,0),
∵抛物线y=ax2+bx+5交x轴于A、B,
∴
|
解得
|
所以,抛物线解析式为y=-
1 |
4 |
(2)∵以PQ为对角线的矩形的一边在直线l:y=
3 |
4 |
32+42 |
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201301/49/07beb1bb.png)
∴矩形的长、宽分别为
4 |
5 |
3 |
5 |
∴矩形的面积为
4 |
5 |
3 |
5 |
12 |
25 |
∵点P在抛物线y=-
1 |
4 |
3 |
4 |
∴PQ=xQ-xP=
3 |
4 |
1 |
4 |
1 |
4 |
5 |
4 |
1 |
4 |
25 |
4 |
25 |
16 |
1 |
4 |
5 |
2 |
39 |
16 |
∴当x=
5 |
2 |
39 |
16 |
故矩形面积的最小值为
12 |
25 |
39 |
16 |
4563 |
1600 |
(3)是定值5.
理由如下:设M′N在x轴上的正投影为EF,则EF等于点N的横坐标减去点M′的横坐标,
∵直线y=
3 |
4 |
∴平移后的直线解析式为y=
3 |
4 |
联立
|
消掉y得,
1 |
4 |
5 |
4 |
∵点M与点M′关于原点对称,
∴点M′的横坐标与点M的横坐标互为相反数,
∴EF=-
-
| ||
|
点评:本题是二次函数综合题型,主要考查了待定系数法求二次函数解析式,矩形的面积,二次函数的最值问题,联立两函数解析式求交点,根与系数的关系,综合性较强,(1)求出点A、B的关系式,(2)根据直线用PQ表示出矩形的长与宽,(3)根据点M、M′的横坐标的关系利用根与系数的关系判断是解题的关键.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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