Question

【题目】如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+9﹣b2（b为常数）经过坐标原点O，且与x轴交于另一点E．其顶点M在第一象限．

（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）设点A是该抛物线上位于x轴上方，且在其对称轴左侧的一个动点；过点A作x轴的平行线交该抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C．
①当线段AB、BC的长都是整数个单位长度时，求矩形ABCD的周长；
②求矩形ABCD的周长的最大值，并写出此时点A的坐标；
③当矩形ABCD的周长取得最大值时，它的面积是否也同时取得最大值？请判断并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意，代入原点到二次函数解析式

则9﹣b2=0，

解得b=±3，

由题意抛物线的对称轴大于0，

，

所以b=3，

所以解析式为y=﹣x2+3x

（2）

解：设A点横坐标为m，则 ＞m＞0，

AB=3m﹣m2，BC=2（ ﹣m）=3﹣2m，

∴矩形ABCD的周长=2（AB+BC）=2（﹣m2+m+3）=﹣2m2+2m+6．

①当线段AB、BC的长都是整数个单位长度时，则

3m﹣m2＞0且为整数，3﹣2m＞0且为整数，

∴m=1．

∴矩形ABCD的周长=﹣2m2+2m+6=6；

②∵矩形ABCD的周长=﹣2m2+2m+6=﹣2（m2﹣m）+6=﹣2（m2﹣m+ ﹣ ）+6=﹣2（m﹣ ）2+ ，

∴当m= 时，有最大值= ，

将m= 代入y=﹣x2+3x得y= ，即A点的纵坐标，

此时点A的坐标为（ ， ）；

③当矩形ABCD的周长取得最大值时，m= ，

此时矩形ABCD的面积=ABBC=（3m﹣m2）（3﹣2m）= ，不是最大值．

∵当m= 时，矩形ABCD的面积=（3m﹣m2）（3﹣2m）=1.6875×1.5=2.53125＞ ．

∴当矩形ABCD的周长取得最大值时，它的面积不能同时取得最大值

【解析】（1）已知抛物线过原点，代入求得b值而求出二次函数解析式；（2）设A点横坐标为m，则 ＞m＞0，AB=3m﹣m2 ， BC=3﹣2m，矩形ABCD的周长=﹣2m2+2m+6．①根据线段AB、BC的长都是整数个单位长度及 ＞m＞0，确定m的值，从而求出矩形ABCD的周长；②将﹣2m2+2m+6配方，根据二次函数的性质，得出矩形ABCD的周长的最大值，并求出此时点A的坐标；③将矩形ABCD的周长取得最大值时的m的值代入它的面积表达式ABBC=（3m﹣m2）（3﹣2m）中，计算出其值为2.5，然后在 ＞m＞0的范围内找到一个m= 时，矩形ABCD的面积=2.53125＞ ，从而得到当矩形ABCD的周长取得最大值时，它的面积不能同时取得最大值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数的图象的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点．