题目内容

【题目】如图,正△ABC的边长为3cm,动点P从点A出发,以每秒1cm的速度,沿A→B→C的方向运动,到达点C时停止,设运动时间为x(秒),y=PC2 , 则y关于x的函数的图象大致为( )

A.
B.
C.
D.

【答案】C
【解析】 解:∵正△ABC的边长为3cm,
∴∠A=∠B=∠C=60°,AC=3cm.
①当0≤x≤3时,即点P在线段AB上时,AP=xcm(0≤x≤3);
根据余弦定理知cosA=
=
解得,y=x2﹣3x+9(0≤x≤3);
该函数图象是开口向上的抛物线;
解法二:过C作CD⊥AB,则AD=1.5cm,CD= cm,
点P在AB上时,AP=x cm,PD=|1.5﹣x|cm,
∴y=PC2=( 2+(1.5﹣x)2=x2﹣3x+9(0≤x≤3)
该函数图象是开口向上的抛物线;
②当3<x≤6时,即点P在线段BC上时,PC=(6﹣x)cm(3<x≤6);
则y=(6﹣x)2=(x﹣6)2(3<x≤6),
∴该函数的图象是在3<x≤6上的抛物线;
故选:C.

需要分类讨论:①当0≤x≤3,即点P在线段AB上时,根据余弦定理知cosA= ,所以将相关线段的长度代入该等式,即可求得y与x的函数关系式,然后根据函数关系式确定该函数的图象.②当3<x≤6,即点P在线段BC上时,y与x的函数关系式是y=(6﹣x)2=(x﹣6)2(3<x≤6),根据该函数关系式可以确定该函数的图象.

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