题目内容

如图,点C是半圆O的半径OB上的动点,作PC⊥AB于C.点D是半圆上位于PC左侧的点,连接BD交线段PC于E,且PD=PE.
(1)求证:PD是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为4
3
,PC=8
3
,设OC=x,PD2=y.
①求y关于x的函数关系式;
②当x=
3
时,求tanB的值.
(1)证明:连接OD.
∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB.
∵PD=PE,∴∠PDE=∠PED.
∠PDO=∠PDE+∠ODE
=∠PED+∠OBD
=∠BEC+∠OBD
=90°,
∴PD⊥OD.
∴PD是⊙O的切线.

(2)①连接OP.
在Rt△POC中,
OP2=OC2+PC2=x2+192.
在Rt△PDO中,
PD2=OP2-OD2=x2+144.
∴y=x2+144(0≤x≤4
3
).
(x取值范围不写不扣分)
②当x=
3
时,y=147,
∴PD=7
3
,(8分)
∴EC=
3

∵CB=3
3

∴在Rt△ECB中,tanB=
CE
CB
=
3
3
3
=
1
3

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