Question

如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，且DE∥BC，下列结论：①△BDF是等腰三角形；②DE=

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BC；③四边形ADFE是菱形；④∠BDF+∠FEC=2∠A，其中一定正确的是（　　）

• A、①③④
• B、②③④
• C、①②④
• D、①②③

Answer 1

分析：分别过点D、E作BC的垂线DG、EH；连接AF，由于折叠是轴对称图形知AF⊥DE，因为DE∥BC，所以AF⊥BC，且AM=MF，可以证明DE是△ABC的中位线．
由于折纸是轴对称图形知AD=DF，AE=EF，所以DA=DB=DF，可以证明①是等腰三角形；因DG∥AF∥EH，又因为DG是等腰三角形BDF的高，可证∠BDF=2∠DAM，同理∠CEF=2∠EAM，可证④正确；显然③四边形ADFE是菱形是错误的．

解答：解：分别过点D、E作BC的垂线DG、EH；连接AF，
∵折叠是轴对称图形，∴AF⊥DE，
∵DE∥BC，∴AF⊥BC，且AM=MF，
∴D、E分别是AB、AC的中点，
即；②DE=

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BC，正确．
∵AD=DF，AE=EF，
∴DA=DB=DF，∴①△BDF是等腰三角形，正确．
∵DG∥AF∥EH，∴∠BDG=∠DAM，
又∵DG是等腰三角形BDF的高，
∴∠BDF=2∠DAM，同理∠CEF=2∠EAM，
∴④∠BDF+∠FEC=2∠A；如图显然③四边形ADFE是菱形是错误的．
故选C．

点评：此题主要考查菱形的判定，等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，轴对称图形等知识点，解答此题的关键是分别过点D、E作BC的垂线DG、EH；连接AF，然后分别求证各个结论，此题有一定的拔高难度，属于中档题．