Question

如图：将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，且DE∥BC，下列结论中，一定正确的个数是（　　）
①△BDF是等腰三角形；②DE=

1

2

BC；③∠BDF+∠FEC=2∠A；④四边形ADFE是菱形．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：先根据折叠的性质得∠ADE=∠FDE，AD=FD，再根据平行线的性质得到∠ADE=∠B，∠FDE=∠BFD，则∠B=∠BFD，于是根据等腰三角形的判定可对①进行判断；由∠B=∠BFD得DB=DF，易得AD=DB，即D为AB的中点，可判断DE为△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质可对②进行判断；同理可得∠C=∠EFC，
再根据三角形内角和定理得到∠BDF=180°-∠B-∠BFD=180°-2∠B，∠FEC=180°-∠C-∠EFC=180°-2∠C，则∠BDF+∠FEC=360°-2（∠B+∠C）=360°-2（180°-∠A）=2∠A，所以可对③进行判断；由于AD=DF，AE=EC，只有当AD=AE时，四边形ADFE是菱形，则要有△ABC为等腰三角形，而条件中没有△ABC为等腰三角形，则可对④进行判断．

解答：解：∵三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，
∴∠ADE=∠FDE，AD=FD，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠FDE=∠BFD，
∴∠B=∠BFD，
∴△BDF是等腰三角形，所以①正确；
∴DB=DF，
∴AD=DB，即D为AB的中点，
而DE∥BC，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE=

1

2

BC，所以②正确；
同理可得∠C=∠EFC，
∵∠BDF=180°-∠B-∠BFD=180°-2∠B，
∠FEC=180°-∠C-∠EFC=180°-2∠C，
∴∠BDF+∠FEC=360°-2（∠B+∠C）=360°-2（180°-∠A）=2∠A，所以③正确；
∵AD=DF，AE=EC，
∴当AD=AE时，四边形ADFE是菱形，此时△ABC为等腰三角形，
而△ABC不确定为等腰三角形，
∴不能判断四边形ADFE是菱形，所以④错误．
故选C．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了等腰三角形的判定、三角形内角和定理和菱形的判定．