Question

如图，在⊙M中，弦AB所对的圆心角为120°，已知圆的半径为2cm，并建立如图所示的直角坐标系．
（1）求圆心M的坐标；
（2）点P是⊙M上的一个动点，当△PAB为直角三角形时，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据等腰三角形的性质可知∠AMO=

1

2

∠AMB=60°，由直角三角形的性质可求出M点的坐标；
（2）根据△AOM与△BOM是直角三角形，∠AMO=∠BMO=60°，可求出A、B两点的坐标，由于AB不经过圆心，故∠APB≠90°，所以应分∠BAP=90°与∠ABP=90°两种情况进行讨论．

解答：解：（1）∵MA=MB，OM⊥AB，∠AMB=120°，
∴∠BMO=

1

2

∠AMB=60°，
∴∠OBM=30°，
∴OM=

1

2

MB=1，
∴M（0，1）；


（2）连接MB，
∵OC=MC-MO=1，OB=

MB2-OM2

=

22-12

=

3

，
∴A（-

3

，0），B（

3

，0），

∵AB不经过圆心，
∴∠APB≠90°，
当∠BAP=90°时，此时PB为⊙M的直径，如图1所示，

∵A（-

3

，0），PA⊥AB，

∴直线PA的解析式为x=-

3

；

设直线MB的解析式为y=kx+b（k≠0），

∵M（0，1），B（

3

，0），

∴

b=1 3 k+b=0

，
解得k=-

3

3

，
∴直线MB的解析式为y=-

3

3

x+1，

∴

x=- 3 y=- 3 3 x+1

，
解得

x=- 3 y=2

，

∴P（-

3

，2）；

当∠ABP=90°时，此时PA为⊙M的直径，如图2所示，

∵B（

3

，0），PB⊥AB，

∴直线PB的解析式为x=

3

；

设直线MA的解析式为y=kx+b（k≠0），

∵M（0，1），B（-

3

，0），

∴

b=1 - 3 k+b=0

，
解得k=

3

3

，
∴直线MB的解析式为y=

3

3

x+1，

∴

x= 3 y= 3 3 x+1

，
解得

x= 3 y=2

，

∴P（

3

，2）；

综上所述，P点坐标为：P₁（-

3

，2），P₂（

3

，2）．

点评：本题考查的是圆的综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式、圆周角定理及勾股定理，在解答（2）时要注意进行分类讨论．