Question

【题目】 在△ABC中，∠A＝40°．

（1）如图(1)BO、CO是△ABC的内角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；

（2）如图(2)若BO、CO是△ABC的外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；

（3）如图(3)若BO、CO分别是△ABC的一内角和一外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；

（4）根据上述三问的结果，当∠A＝n°时，分别可以得出∠BOC与∠A有怎样的数量关系(只需写出结论)．

Answer 1

【答案】（1）110°；（2）70°；（3）20°；（4）分别是90°+ °；90°- °；°

【解析】试题分析：（1）首先根据三角形的内角和定理，求得∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的概念，求得∠OBC+∠OCB，最后根据三角形的内角和定理求得∠BOC= 110°；（2）如图2，根据角平分线的定义和三角形外角的性质得∠DBC=2∠1=∠ACB+∠A，∠ECB=2∠2=∠ABC+∠A，所以2∠1+2∠2=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°，再由∠1+∠2+∠BOC=180°可得2∠BOC=180°-∠A，即∠BOC=90°- ∠A=90°-20°=70°；（3）如图3，由BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，可得∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACD，根据三角形外角的性质可得∠ACD=∠A+∠ABC，即可得∠2= （∠A+∠ABC）= ∠A+∠1，再由三角形外角的性质可得∠BOC=∠2﹣∠1= ∠A+∠1﹣∠1= ∠A=×40°=20°；（4）利用以上结论直接得出答案即可.

试题解析：

（1）∵∠A=40°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°．

∵BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，

∴∠OBC+∠OCB= ∠ABC+∠ACB）=×140°=70°，

∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-70°=110°；

（2）∵BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的角平分线，

∴∠DBC=2∠1=∠ACB+∠A，

∠ECB=2∠2=∠ABC+∠A，

∴2∠1+2∠2=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°，

又∵∠1+∠2+∠BOC=180°，

∴2∠BOC=180°-∠A，

∴∠BOC=90°- ∠A=90°-20°=70°．

图2

（3）如图3，

∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，

∴∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACD，

又∵∠ACD是△ABC的一外角，

∴∠ACD=∠A+∠ABC，

∴∠2= （∠A+∠ABC）= ∠A+∠1，

∵∠2是△BOC的一外角，

∴∠BOC=∠2﹣∠1= ∠A+∠1﹣∠1= ∠A=×40°=20°．

（4）分别是90°+ °；90°- °；°