Question

（本小题满分8分）
如图，已知在⊙O中，AB=4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30°．

（1）求图中阴影部分的面积；

（2）若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．

(3) 试判断⊙O中其余部分能否给（2）中的圆锥做两个底面。

Answer 1

解：（1）法一：过O作OE⊥AB于E，则AE=AB=2．····················· 1分
  
在RtAEO中，∠BAC=30°，cos30°=．
∴OA===4． …………………………2分
又∵OA=OB，∴∠ABO=30°．∴∠BOC=60°．∵AC⊥BD，∴．
∴∠COD =∠BOC=60°．∴∠BOD=120°．······················································· 3分
∴S_阴影==．································································· 4分
法二：连结AD．∵AC⊥BD，AC是直径，

∴AC垂直平分BD．     ……………………1分

∴AB=AD，BF=FD，． ∴∠BAD=2∠BAC=60°，
∴∠BOD=120°．        ……………………2分
∵BF=AB=2，sin60°=，AF=AB·sin60°=4×=6．
∴OB²=BF²+OF²．即．∴OB=4．   ···························· 3分
∴S_阴影=S_圆=．      ········································································ 4分
法三：连结BC．∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC=90°．……………………1分

∵AB=4，∴．        ……………………2分
∵∠A=30°， AC⊥BD，∴∠BOC=60°，∴∠BOD=120°．
∴S_阴影=π·OA²=×4²·π=．……………………4分
以下同法一．
（2）设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr，
∴．  ∴．       ···················································· 6分
（3）＜8－12，故能得到两个这样的底面。……………………8分

解析