Question

【题目】如图所示，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC的边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为ts．

（1）则BC＝　 　cm；

（2）当t为何值时，点P在边AC的垂直平分线上？此时CQ＝　 　；

（3）当点Q在边CA上运动时，直接写出使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．

Answer 1

【答案】（1）BC＝12cm；（2）t＝，CQ＝13cm；（3）当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．

【解析】

（1）由勾股定理即可得出结论；

（2）可得PC＝PA＝t，PB＝16﹣t，则122+（16﹣t）2＝t2，解出t＝．可求出CQ；

（3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分BQ＝BC、CQ＝BC和BQ＝CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．

解：（1）∵∠B＝90°，AB＝16cm，AC＝20cm，

∴BC＝＝＝12（cm）．

故答案为：12；

（2）如图，

∵点P在边AC的垂直平分线上，

∴PC＝PA＝t，PB＝16﹣t，

在Rt△BPC中，BC2+BP2＝CP2，即122+（16﹣t）2＝t2，

解得：t＝．

此时，点Q在边AC上，CQ＝（cm）；

故答案为：13cm．

（3）①当CQ＝BQ时，如图1所示，

则∠C＝∠CBQ，

∵∠ABC＝90°，

∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．

∠A+∠C＝90°，

∴∠A＝∠ABQ，

∴BQ＝AQ，

∴CQ＝AQ＝10，

∴BC+CQ＝22，

∴2t=22，

∴t＝22÷2＝11秒．

②当CQ＝BC时，如图2所示，

则BC+CQ＝24，

∴2t=24，

∴t＝24÷2＝12秒．

③当BC＝BQ时，如图3所示，

过B点作BE⊥AC于点E，

∴，

∴＝．

∴CQ＝2CE＝14.4，

∴BC+CQ＝26.4，

∴2t=26.4，

∴t＝26.4÷2＝13.2秒．

综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．