题目内容
【题目】如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（6，6），将正方形ABCO绕点C逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF，ED交线段AB于点G，ED的延长线交线段OA于点H，连CH、CG．
（1）求证：△CBG≌△CDG；
（2）求∠HCG的度数；并判断线段HG、OH、BG之间的数量关系，说明理由；
（3）连结BD、DA、AE、EB得到四边形AEBD，在旋转过程中，当G点在何位置时四边形AEBD是矩形？请说明理由并求出点H的坐标．
【答案】
（1）
证明：∵将正方形ABCO绕点C逆时针旋转角度α，
∴DC=CO，∠CDG=∠COA=90°，
∵四边形OCBA是正方形，
∴CB=CO，∠B=90°，
∴CB=CD，∠B=∠CDG=90°
在Rt△CDG与Rt△CBG中，
，
∴Rt△CDG≌Rt△CBG
（2）
解：∵∠CDG=90°，
∴∠CDH=90°，
在Rt△COH与Rt△CDH中，
，
∴Rt△COH≌Rt△CDH，
∴∠OCH=∠DCH，HO=DH，
∵Rt△CDG≌Rt△CBG，
∴∠DCG=∠BCG，DG=BG，
∴∠HCG=∠DCG+∠DCH=45°，
HG=HD+DG=HO+BG
（3）
解：当G是AB中点时，四边形ADBE是矩形，
∵G是AB中点，
∴BG=AG= 
AB
由（2）得DG=BG，
又∵AB=DE，
∴DG= DE，
∴DG=GE=BG=AG，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=DE，
∴□ADBE是矩形，
设点H的坐标为（x，0），
则HO=HD=x，DG=BG=AG=3，AH=6﹣x，
由勾股定理得，（6﹣x）2+33=（3+x）2，
解得，x=2，
∴H（2，0）．
【解析】（1）根据旋转变换的性质得到DC=CO，∠CDG=∠COA=90°，根据正方形的性质得到CB=CO，∠B=90°，根据直角三角形的全等的判定定理证明即可；（2）证明Rt△COH≌Rt△CDH，得到∠OCH=∠DCH，HO=DH，等量代换即可；（3）根据矩形的判定定理证明四边形AEBD是矩形，设点H的坐标为（x，0），根据勾股定理列出方程，解方程求出x的值，得到点H的坐标．
