题目内容
【题目】如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与直线y=-x的交点A、B的横坐标分别为2和
．点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥AB于点D，作PE⊥x轴交AB于点E．
（1）直接写出点A、B的坐标；
（2）求抛物线的关系式；
（3）判断△OBC形状，并说明理由；
（4）设点P的横坐标为n，线段PD的长为y，求y关于n的函数关系式；
（5）定义符号min{a，b）}的含义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a＜b时，min{a，b}=a．如min{2，0}=0，min{-3，4}=-3．直接写出min{-x2+bx+c，-x}的最大值．
【答案】（1）A（2-2），点B（-
，）；（2）y=-x2+x+1；（3）△OBC是等腰直角三角形．理由见解析；（4）y=-
n2+
n+；（5）min{-x2+x+1，-x}最大值为.
【解析】
（1）A、B的横坐标分别为2和-，代入解析式y=-x可得点A，点B的坐标；
（2）用待定系数法可求解析式；
（3）由根据两点距离公式可求OB，OC，BC的长度，可得BC=OB，根据勾股定理逆定理可判断∠OBC=90°，即可求△OBC形状；
（4）由点P的横坐标为n，可求PE=-n2+
n+1，根据题意可求∠BOC=45°=∠PED，根据勾股定理可求PD=y=PE，即可求y关于n的函数关系式；
（5）分①-x2+x+1≥-x时，②-x2+x+1＜-x时，两种情况讨论，可求min{-x2+x+1，-x}最大值．
（1）∵A、B的横坐标分别为2和
，且点A，点B在直线y=-x上，
∴A（2-2），点B（-，），
（2）∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A，点B，
∴
，
解得：b=，c=1，
∴抛物线解析式y=-x2+x+1，
（3）△OBC是等腰直角三角形．
理由如下：∵抛物线y=-x2+x+1与y轴交于点C，
∴当x=0时，则y=1，
即点C坐标（0，1），
又∵点O（0，0），点B（-，），
∴OC=1，
OB=
=，
BC=
=，
∴OB=BC，
∵OB2+BC2=1，OC2=1，
∴OB2+BC2=OC2．
∴∠CBO=90°.
∴△OBC是等腰直角三角形．
（4）∵点P的横坐标为n，
∴点P（n，-n2+n+1），点E的坐标（n，-n），
∴PE=-n2+n+1-（-n）=-n2+n+1，
∵直线y=-x与x轴所成锐角为45°，
∴∠BOC=45°，
∵PE∥y轴，
∴∠PED=∠BOC=45°，且PD⊥AB，
∴PE=
PD，
∴y=PE=（-n2+n+1）=-n2+n+，
（5），
①-x2+x+1≥-x时，min{-x2+x+1，-x}=-x，
即-x2+x+1≥-x，
解得：-≤x≤2，
∴-2≤min{-x2+x+1，-x}≤，
②-x2+x+1＜-x时，min{-x2+x+1，-x}=-x2+x+1，
即-x2+x+1＜-x，
解得：x＜-和x＞2，
当x＜-时，min{-x2+x+1，-x}＜，
当x＞2时，min{-x2+x+1，-x}＜-2，
综上所述：min{-x2+x+1，-x}最大值为.
