Question

如图∠A=∠ABC=∠C=45°，E、F分别是AB、BC的中点，则下列结论，①EF⊥BD，②EF=BD，③∠ADC=∠BEF+∠BFE，④AD=DC，其中正确的是

1. A.
   ①②③④
2. B.
   ①②③
3. C.
   ①②④
4. D.
   ②③④

Answer 1

B
分析：根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边”同时利用三角形的全等性质求解．
解答：解：如下图所示：连接AC，延长BD交AC于点M，延长AD交BC于Q，延长CD交AB于P．
∵∠ABC=∠C=45°∴CP⊥AB
∵∠ABC=∠A=45°∴AQ⊥BC
点D为两条高的交点，所以BM为AC边上的高，即：BM⊥AC．
由中位线定理可得EF∥AC，EF=AC∴BD⊥EF，故①正确．
∵∠DBQ+∠DCA=45°，∠DCA+∠CAQ=45°，
∴∠DBQ=∠CAQ，
∵∠A=∠ABC，∴AQ=BQ，
∵∠BQD=∠AQC=90°，
∴根据以上条件得△AQC≌△BQD，∴BD=AC∴EF=AC，故②正确．
∵∠A=∠ABC=∠C=45°
∴∠DAC+∠DCA=180°-（∠A+∠ABC+∠C）=45°
∴∠ADC=180°-（∠DAC+∠DCA）=135°=∠BEF+∠BFE=180°-∠ABC
故③∠ADC=∠BEF+∠BFE成立；
无法证明AD=CD，故④错误．
故选B．
点评：本题考点在于三角形的中位线和三角形全等的判断及应用．