Question

【题目】如图，∠ABC=45°，△ADE是等腰直角三角形，AE=AD，顶点A、D分别再∠ABC的两边BA、BC上滑动（不与点B重合），△ADE的外接圆交BC于点F，O为圆心．

（1）直接写出∠AFE的度数；

（2）当点D在点F的右侧时，①求证：EF﹣DF=AF；

②若AB=，＜BE≤，求⊙O的面积S的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）①证明见解析；②16π＜S＜40π．

【解析】

试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质和圆周角定理即可得到结论；

（2）①根据已知条件得到AB=AF，∠BAF=90°推出△ABD≌△AFE，根据全等三角形的性质得到BD=EF，由线段的和差得到EF﹣DF=BD﹣DF=BF，根据三角函数的定义得到BF=AF，即可得到结论；

②由（2）①得BD=EF，根据已知条件得到BF=8，根据勾股定理得到＜BE≤，求得8＜EF＜12，于是得到S=（x﹣4）2+8π，根据二次函数的性质即可得到结论．

试题解析：（1）∠AFE=45°，连接AF，∵△ADE是等腰直角三角形，∴∠AFE=∠EDF=45°；

（2）①连接EF，∵∠EFD=∠EAD=90°，∴∠BFE=90°，∵∠AFE=45°，∴∠AFB=∠AFE=45°，∴AB=AF，∠BAF=90°，∴∠BAD=∠FAE，在△ABD和△AFE中，∵AD=AE，∠BAD=∠FAE，AB=AF，∴△ABD≌△AFE，∴BD=EF，∴EF﹣DF=BD﹣DF=BF，∵AF=BFcos∠AFB=BF，即BF=AF，∴EF﹣DF=AF；

②由（2）①得BD=EF，∵∠BAF=90°，AB=，∴BF===8，设BD=x，则EF=x，DF=x﹣8，∵BE2=EF2+BF2，＜BE≤，∴128＜EF2+82＜208，∴8＜EF＜12，即8＜x＜12，∴S=DE2= [x2+（x﹣8）2]=（x﹣4）2+8π，∵＞0，∴抛物线的开口向上，∵抛物线的对称轴为直线x=4，∴当8＜x＜12时，S随x的增大而增大，∴16π＜S＜40π．