Question

在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角a（0°＜a＜90°）得△A₁BC₁，A₁B交AC于点E，A₁C₁分别交AC、BC于D、F两点．
（1）如图1，观察并猜想：图中在不连接其它线段的情况下，共有多少对全等三角形（不包含△ABC≌△A₁BC₁）？将它们全部写出来，并且选一组全等三角形进行证明；
（2）如图2，当a=30°时，求ED的长．

Answer 1

分析：（1）因为AB=BC，由旋转的性质可知，∠A=∠C=∠C₁，AB=BC=BC₁，∠ABE=∠C₁BF，可证△ABE≌△C₁BF；由△ABE≌△C₁BF得BE=BF，故AE=AB-BE=BC-BF=CF，∠A₁=∠C，可证△DAE≌△DCF；由△DAE≌△DCF得DE=DF，及BE=BF，BD=BD，可证△DEB≌△DFB；由A₁B=BC，A₁D=DC，BD=BD，可证△ABD≌△C₁BD；同理可证△A₁BD≌△CBD．
（2）当a=30°时，在△ABE中，∠A=∠EBA=30°，AB=2，作EG⊥AB，垂足为G，解直角三角形求BE．

解答：解：（1）共5组：△ABE≌△C₁BF，△DAE≌△DCF，△DEB≌△DFB，△ABD≌△C₁BD，△A₁BD≌△CBD；

（2）当a=30°时，如图2，作EG⊥AB，垂足为G，
∵在△ABE中，∠A=∠EBA=30°，AB=2，
∴AG=

1

2

AB=1，在Rt△AEG中，AE=

AG

cos∠A

=

2 3

3

，
∴DE=AD-AE=AB-AE=

6-2 3

3

．

点评：本题考查了三角形全等的判断方法，旋转的性质及解直角三角形的知识．