题目内容
【题目】如图1,△ABC的边BC在直线l上,AC⊥BC,且AC=BC;△EFP的边FP也在直线l上,边EF与边AC重合,且EF=FP.
(1)示例:在图1中,通过观察、测量,猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系.
答:AB与AP的数量关系和位置关系分别是 、 .
(2)将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时,EP交AC于点Q,连结AP,BQ.请你观察、测量,猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系.答:BQ与AP的数量关系和位置关系分别是 、 .
(3)将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连结AP、BQ.你认为(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.
【答案】(1)AB=AP,AB⊥AP;(2)BQ=AP,BQ⊥AP;(3)成立,证明详见解析.
【解析】试题分析:(1)由于AC⊥BC,且AC=BC,边EF与边AC重合,且EF=FP,则△ABC与△EFP是全等的等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC=∠CAP=45°,AB=AP,则∠BAP=90°,于是AP⊥AB;
(2)延长BO交AP于H点,可得到△OPC为等腰直角三角形,则有OC=PC,根据“SAS”可判断△ACP≌△BCO,则AP=BO,∠CAP=∠CBO,利用三角形内角和定理可得到∠AHO=∠BCO=90°,即AP⊥BO;
(3)BO与AP所满足的数量关系为相等,位置关系为垂直.证明方法与(2)一样.
试题解析:(1)AB=AP,AB⊥AP;
(2)BQ=AP,BQ⊥AP;
(3)成立.理由如下:
∵∠EPF=45°,∴∠CPQ=45°.
∵AC⊥BC,∴∠CQP=∠CPQ,CQ=CP.
在Rt△BCQ和Rt△ACP中,∵BC=AC,∠BCQ=∠ACP,CQ=CP,∴Rt△BCQ≌Rt△ACP(SAS),
∴BQ=AP;
延长QB交AP于点N,∴∠PBN=∠CBQ.
∵Rt△BCQ≌Rt△ACP,∴∠BQC=∠APC.
在Rt△BCQ中,∵∠BCQ+∠CBQ=90°,∴∠APC+∠PBN=90°,∴∠PNB=90°,∴QB⊥AP.