题目内容

【题目】如图1,ABC的边BC在直线l上,ACBC,且AC=BC;EFP的边FP也在直线l上,边EF与边AC重合,且EF=FP.

(1)示例:在图1中,通过观察、测量,猜想并写出ABAP所满足的数量关系和位置关系.

答:ABAP的数量关系和位置关系分别是      

(2)将EFP沿直线l向左平移到图2的位置时,EPAC于点Q,连结AP,BQ.请你观察、测量,猜想并写出BQAP所满足的数量关系和位置关系.答:BQAP的数量关系和位置关系分别是      

(3)将EFP沿直线l向左平移到图3的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连结AP、BQ.你认为(2)中所猜想的BQAP的数量关系和位置关系还成立吗?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.

【答案】(1)AB=AP,ABAP;(2)BQ=AP,BQAP;(3)成立,证明详见解析.

【解析】试题分析:(1)由于AC⊥BC,且AC=BC,边EF与边AC重合,且EF=FP,则△ABC△EFP是全等的等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC=∠CAP=45°AB=AP,则∠BAP=90°,于是AP⊥AB

2)延长BOAPH点,可得到△OPC为等腰直角三角形,则有OC=PC,根据“SAS”可判断△ACP≌△BCO,则AP=BO∠CAP=∠CBO,利用三角形内角和定理可得到∠AHO=∠BCO=90°,即AP⊥BO

3BOAP所满足的数量关系为相等,位置关系为垂直.证明方法与(2)一样.

试题解析:(1AB=APAB⊥AP

2BQ=APBQ⊥AP

3)成立.理由如下:

∵∠EPF=45°∴∠CPQ=45°

∵AC⊥BC∴∠CQP=∠CPQCQ=CP

Rt△BCQRt△ACP中,∵BC=AC∠BCQ=∠ACPCQ=CP∴Rt△BCQ≌Rt△ACPSAS),

∴BQ=AP

延长QBAP于点N∴∠PBN=∠CBQ

∵Rt△BCQ≌Rt△ACP∴∠BQC=∠APC

Rt△BCQ中,∵∠BCQ+∠CBQ=90°∴∠APC+∠PBN=90°∴∠PNB=90°∴QB⊥AP

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