Question

【题目】已知等边△ABC的边长为4cm，点P，Q分别是直线AB，BC上的动点．

（1）如图1，当点P从顶点A沿AB向B点运动，点Q同时从顶点B沿BC向C点运动，它们的速度都为lcm/s，到达终点时停止运动．设它们的运动时间为t秒，连接AQ，PQ．

①当t＝2时，求∠AQP的度数．

②当t为何值时△PBQ是直角三角形？

（2）如图2，当点P在BA的延长线上，Q在BC上，若PQ＝PC，请判断AP，CQ和AC之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①∠AQP＝30°；②当t＝秒或t＝秒时，△PBQ为直角三角形；（2）AC＝AP+CQ，理由见解析.

【解析】

（1）①由△ABC是等边三角形知AQ⊥BC，∠B＝60°，从而得∠AQB＝90°，△BPQ是等边三角形，据此知∠BQP＝60°，继而得出答案；

②由题意知AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t，再分∠PQB＝90°和∠BPQ＝90°两种情况分别求解可得．

（2）过点Q作QF∥AC，交AB于F，知△BQF是等边三角形，证∠QFP＝∠PAC＝120°、∠BPQ＝∠ACP，从而利用AAS可证△PQF≌△CPA，得AP＝QF，据此知AP＝BQ，根据BQ+CQ＝BC＝AC可得答案．

解:（1）①根据题意得AP＝PB＝BQ＝CQ＝2，

∵△ABC是等边三角形，

∴AQ⊥BC，∠B＝60°，

∴∠AQB＝90°，△BPQ是等边三角形，

∴∠BQP＝60°，

∴∠AQP＝∠AQB﹣∠BQP＝90°﹣60°＝30°；

②由题意知AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t，

当∠PQB＝90°时，

∵∠B＝60°，

∴PB＝2BQ，得：4﹣t＝2t，解得t＝；

当∠BPQ＝90°时，

∵∠B＝60°，

∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），解得t＝；

∴当t＝秒或t＝秒时，△PBQ为直角三角形；

（2）AC＝AP+CQ，理由如下：

如图所示，过点Q作QF∥AC，交AB于F，

则△BQF是等边三角形，

∴BQ＝QF，∠BQF＝∠BFQ＝60°，

∵△ABC为等边三角形，

∴BC＝AC，∠BAC＝∠BFQ＝60°，

∴∠QFP＝∠PAC＝120°，

∵PQ＝PC，

∴∠QCP＝∠PQC，

∵∠QCP＝∠B+∠BPQ，∠PQC＝∠ACB+∠ACP，∠B＝∠ACB，

∴∠BPQ＝∠ACP，

在△PQF和△CPA中，

∵

∴△PQF≌△CPA（AAS），

∴AP＝QF，

∴AP＝BQ，

∴BQ+CQ＝BC＝AC，

∴AP+CQ＝AC．