Question

已知如图，抛物线与x轴相交于B（1，0）、C（4，0）两点，与y轴的正半轴相交于A点，过A、B、C三点的⊙P与y轴相切于点A．M为y轴负半轴上的一个动点，直线MB交⊙P于点D，交抛物线于点N。

（1）请直接写出答案：点A坐标         ，⊙P的半径为          ；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若，求N点坐标；
（4）若△AOB与以A、B、D为顶点的三角形相似，求MB•MD的值．

Answer 1

（1）（0，2），；（2）；（3）（6，5）；（4）或

试题分析：（1）根据抛物线与坐标轴的交点坐标的特征结合切线的性质求解即可；
（2）根据抛物线过B（1，0）、C（4，0），设y=a(x-1)(x-4)，再把A（0，2）代入求即；
（3）设N点坐标为（x₀，y₀），由题意有，即可求得y₀的值，再根据函数图象上的点的坐标的特征求解即可；
（4）根据题意∠OAB=∠ADB，所以△AOB和△ABD相似有两种情况：①∠ABD和∠AOB对应，此时AD是⊙P的直径；②∠BAD和∠AOB对应，此时BD是⊙P的直径，所以直线MB过P点，分别根据相似三角形的性质求解即可.
（1）A点坐标是（0，2），⊙P的半径长为；
（2）抛物线过B（1，0）、C（4，0），设y=a(x-1)(x-4)
将A（0，2）代入得4a=2，解得a=
抛物线的解析式是：；
（3）设N点坐标为（x₀，y₀），由题意有
∴，解得y₀=5
∵N点在抛物线上  
∴
解得 x₀=6或 x₀=1（不合题意，舍去）
∴N点的坐标为（6，5）；
（4）根据题意∠OAB=∠ADB，所以△AOB和△ABD相似有两种情况：
①∠ABD和∠AOB对应，此时AD是⊙P的直径

则AB=，AD=5
∴ BD=2
∵Rt△AMB∽Rt△DAB
∴ MA：AD=AB：BD 即 MA=
∵Rt△AMB∽Rt△DMA
∴MA：MD=MB：MA
即 MB·MD=MA²= 
②∠BAD和∠AOB对应，此时BD是⊙P的直径，所以直线MB过P点

∵B（1，0），P（，2）
∴直线MB的解析式是：
∴M点的坐标为（0， 
∴AM=
由△MAB∽△MDA得MA：MD=MB：MA
∴MB·MD=MA²=.
点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.