题目内容
【题目】如图,AB为⊙O的直径,C是⊙O上一点,过点C的直线交AB的延长线于点D,AE⊥DC,垂足为E,F是AE与⊙O的交点,AC平分∠BAE.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若AE=6,∠D=30°,求图中阴影部分的面积.
【答案】
(1)
证明:连接OC,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∵AC平分∠BAE,
∴∠OAC=∠CAE,
∴∠OCA=∠CAE,
∴OC∥AE,
∴∠OCD=∠E,
∵AE⊥DE,
∴∠E=90°,
∴∠OCD=90°,
∴OC⊥CD,
∵点C在圆O上,OC为圆O的半径,
∴CD是圆O的切线
(2)
解:在Rt△AED中,
∵∠D=30°,AE=6,
∴AD=2AE=12,
在Rt△OCD中,∵∠D=30°,
∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC,
∴DB=OB=OC= AD=4,DO=8,
∴CD= =
=4
,
∴S△OCD= =8
,
∵∠D=30°,∠OCD=90°,
∴∠DOC=60°,
∴S扇形OBC= ×π×OC2=
,
∵S阴影=S△COD﹣S扇形OBC
∴S阴影=8 ﹣
,
∴阴影部分的面积为8 ﹣
【解析】(1)连接OC,先证明∠OAC=∠OCA,进而得到OC∥AE,于是得到OC⊥CD,进而证明DE是⊙O的切线;(2)分别求出△OCD的面积和扇形OBC的面积,利用S阴影=S△COD﹣S扇形OBC即可得到答案.本题主要考查了切线的判定以及扇形的面积计算,解(1)的关键是证明OC⊥DE,解(2)的关键是求出扇形OBC的面积,此题难度一般.

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