题目内容

【题目】有这样一个问题:探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数y= x与y= (k≠0)的图象性质.
小明根据学习函数的经验,对函数y= x与y= ,当k>0时的图象性质进行了探究.
下面是小明的探究过程:

(1)如图所示,设函数y= x与y= 图象的交点为A,B,已知A点的坐标为(﹣k,﹣1),则B点的坐标为
(2)若点P为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点.
①设直线PA交x轴于点M,直线PB交x轴于点N.求证:PM=PN.
证明过程如下,设P(m, ),直线PA的解析式为y=ax+b(a≠0).

解得
∴直线PA的解析式为
请你把上面的解答过程补充完整,并完成剩余的证明.
②当P点坐标为(1,k)(k≠1)时,判断△PAB的形状,并用k表示出△PAB的面积.

【答案】
(1)(k,1)
(2)

②解:由①可知,在△PMN中,PM=PN,

∴△PMN为等腰三角形,且MH=HN=k.

当P点坐标为(1,k)时,PH=k,

∴MH=HN=PH,

∴∠PMH=∠MPH=45°,∠PNH=∠NPH=45°,

∴∠MPN=90°,即∠APB=90°,

∴△PAB为直角三角形.

当k>1时,如图1,

SPAB=SPMN﹣SOBN+SOAM

= MNPH﹣ ONyB+ OM|yA|,

= ×2k×k﹣ (k+1)×1+ (k﹣1)×1,

=k2﹣1;

当0<k<1时,如图2,

SPAB=SOBN﹣SPMN+SOAM

= ONyB﹣k2+ OM|yA|,

= (k+1)×1﹣k2+ (1﹣k)×1,

=1﹣k2


【解析】解:(1)由正、反比例函数图象的对称性可知,点A、B关于原点O对称,
∵A点的坐标为(﹣k,﹣1),
∴B点的坐标为(k,1).
所以答案是:(k,1).
2)①证明过程如下,设P(m, ),直线PA的解析式为y=ax+b(a≠0).

解得:
∴直线PA的解析式为y= x+ ﹣1.
当y=0时,x=m﹣k,
∴M点的坐标为(m﹣k,0).
过点P作PH⊥x轴于H,如图1所示,
∵P点坐标为(m, ),
∴H点的坐标为(m,0),
∴MH=xH﹣xM=m﹣(m﹣k)=k.
同理可得:HN=k.
∴MH=HN,
∴PM=PN.
所以答案是: ;y= x+ ﹣1.
【考点精析】解答此题的关键在于理解反比例函数的图象的相关知识,掌握反比例函数的图像属于双曲线.反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形.有两条对称轴:直线y=x和 y=-x.对称中心是:原点,以及对反比例函数的性质的理解,了解性质:当k>0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限,在每个象限内y值随x值的增大而减小; 当k<0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限,在每个象限内y值随x值的增大而增大.

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