Question

如图，AB是⊙O的直径，点E是上一点，∠DAC=∠AED．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2） 若点E是的中点，连结AE交BC于点F，当BD=5，  CD=4时，求DF的值．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）2．

试题分析：（1）证明，可得∠BAC=∠ADC=90°，继而可判断AC是⊙O的切线．
（2）由△ADC∽△BAC可求得AC=6，由点E是的中点，证明△CAE是等腰三角形，即CA=CF=6，从而求得DF的值．
（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵∠B=∠AED =∠CAD，∠C=∠C，
∴．
∴∠BAC=∠ADC=90°．
∴AC是⊙O的切线．
（2）可证△ADC∽△BAC．
∴ ，即AC²=BC×CD=36．解得 AC=6．
∵点E是的中点，
∴∠DAE=∠BAE．
∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD，
∴CA=CF=6，
∴DF=CA﹣CD=2．