题目内容

如图1，△ABC为等边三角形，面积为S．D1、E1、F1分别是△ABC三边上的点，且AD1=BE1=CF1=
1
2
AB，连接D1E1、E1F1、F1D1，可得△D1E1F1是等边三角形，此时△AD1F1的面积S1=
1
4
S，△D1E1F1的面积S1=
1
4
S．
（1）当D2、E2、F2分别是等边△ABC三边上的点，且AD2=BE2=CF2=
1
3
AB时如图2，
①求证：△D2E2F2是等边三角形；
②若用S表示△AD2F2的面积S2，则S2=______；若用S表示△D2E2F2的面积S2′，则S2′=______．
（2）按照上述思路探索下去，并填空：
当Dn、En、Fn分别是等边△ABC三边上的点，ADn=BEn=CFn=
1
n+1
AB时，（n为正整数）△DnEnFn是______三角形；
若用S表示△ADnFn的面积Sn，则Sn=______；若用S表示△DnEnFn的面积Sn′，则S′n=______．
（1）①∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，（1分）
由已知得AD2=
1
3
AB，BE2=
1
3
BC，CF2=
1
3
AC
∴AF2=
2
3
AC，BD2=
2
3
AB
∴AD2=BE2，AF2=BD2（2分）
△AD2F2≌△BE2D2（3分）
∴D2E2=F2D2
同理可证△AD2F2≌△CF2E2
F2D2=E2F2（4分）
∴D2E2=E2F2=F2D2
∴△D2E2F2为等边三角形；（5分）
②S2=
2
9
S；（6分）
S′2=S-
2
9
S×3=
1
3
S（7分）

（2）由（1）可知：△DnEnFn等边三角形；（8分）
由（1）的方法可知：S2=
2
9
S，S3=
3
16
S，…Sn=
n
(n+1)2
S；（9分）
S2′=
1
3
S，S3′=
7
16
S…Sn′=
n2-n+1
n2+2n+1
S．（10分）
练习册系列答案
相关题目
如图，在△ABC中，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，若∠ADB=93°，则∠A=______度．
边长为4的正三角形的高为（　　）
A．2B．4C．
3
D．2
3
如图，在等边△ABC中，AC=3，点O在AC上，且AO=1．点P是AB上一点，连接OP，以线段OP为一边作正△OPD，且O、P、D三点依次呈逆时针方向，当点D恰好落在边BC上时，则AP的长是（　　）
A．1B．1.5C．2D．3
为了使同学们更好地解答本题，我们提供了思路点拨，你可以依照这个思路填空，并完成本题解答的全过程，当然你也可以不填空，只需按照解答的一般要求，进行解答即可．
如图，已知AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，延长BC，使CE=CD，连接DE，求证：BC+DC=AC．
思路点拨：
（1）由已知条件AB=AD，∠BAD=60°，可知：△ABD是______三角形；
（2）同理由已知条件∠BCD=120°得到∠DCE=______，且CE=CD，可知______；
（3）要证BC+DC=AC，可将问题转化为两条线段相等，即______=______；
（4）要证（3）中所填写的两条线段相等，可以先证明…．请你完成证明过程：
如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD与Q，PQ=4，PE=1
（1）求证∠BPQ=60°
（2）求AD的长．
等边三角形ABC的边长是4
3
，三角形内有一点O，且OA=OB=OC，则OA=______．
如图，在等边三角形ABC中∠B，∠C的平分线相交于点O，作BO，CO的垂直平分线分别交BC于点E和点F．小明说：“E，F是BC的三等分点．”你同意他的说法吗？请说明理由．
如图所示，△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于R点，PS⊥AC于S点，PR=PS，则四个结论：①点P在∠A的平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP，正确的结论是（　　）
A．①②③④B．只有①②，C．只有②③D．只有①③

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