题目内容

如图所示，在平面直角坐标系xoy中，Rt△AOB的直角边OB，OA分别在x轴上和y轴上，其中OA=2，OB=4，现将Rt△AOB绕着直角顶点O按逆时针方向旋转90°得到△COD，已知一抛物线经过C、D、B三点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）连接DB，P是线段BC上一动点（P不与B、C重合），过点P作PE∥BD交CD于E，则当△DEP面积最大时，求PE的解析式；
（3）作点D关于此抛物线对称轴的对称点F，连接CF交对称轴于点M，抛物线上一动点R，x轴上一动点Q，则在抛物线上是否存在点R，x轴上是否存在点Q，使得以C、M、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．

解：（1）∵△COD≌△AOB
∴OC=OA，OD=OB
∴OC=2，OD=4
∴C（-2，0）D（0，4）B（4，0）
∴设此抛物线的解析式y=ax²+bx+4（a≠0）
将C（-2，O）B（4，0）代入
$\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴抛物线的解析式为： $\text{[math]}$

（2）过E作EH⊥x轴，
∵S_△DEP=S_△DCP-S_△ECP
= $\text{[math]}$ CP•OD- $\text{[math]}$ CP•EH
= $\text{[math]}$ CP（OD-EH）
设点P（m，0）
∵P在BC之间运动
∴CP=m+2
∵PE∥BD
∴△CEP∽△CDB
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴S_△DEP= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
∴当m=1时，S_△DEP有最大值为3，此时P（1，0）
又∵D（0，4）
又设BD的解析式y=kx+4（k≠0）
将B（4，0）代入0=4k+4
k=-1
∴BD：y=-x+4
∵PE∥BD
∴设PE：y=-x+b，
将P（1，0）代入
即0=-1+b，
解得b=1
∴PE的解析式为：y=-x+1；

（3）存在
∵D（0，4）F（2，4）
CF：y=x+2
∴M（1，3）
若以CM为边
在y= $\text{[math]}$ 中令y=3
解得：x₁=1+ $\text{[math]}$ ，x₂=1- $\text{[math]}$
∴Q₁（-2+ $\text{[math]}$ ，0）Q₂（-2- $\text{[math]}$ ，0）
令y=-3， $\text{[math]}$
解得：x₁=1+ $\text{[math]}$ ，x₂=1- $\text{[math]}$
Q₃（4+ $\text{[math]}$ ，0）Q₄（4- $\text{[math]}$ ，0）
若以CM为对角线，Q₅与Q₁重合
∴共有四个点Q．
分析：（1）根据旋转的性质，易求得OC、OD的长，即可得出C、D的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）过E作x轴的垂线，设垂足为H；可设出P点坐标，根据△CPE∽△CBD得出的对应高和对应边的比，求出EH的表达式，即可得出关于△CEP的面积和P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出P、E坐标，进而可用待定系数法求出直线PE的解析式．
（3）此题要分两种情况讨论：①以CM为边，②以CM为对角线；可根据平行四边形的性质得出Q点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出Q点坐标．
点评：此题考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、平行四边形的判定和性质等知识．综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．