题目内容
如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以点O为坐标原点建立坐标系，设P，Q分别为AB，OB边上的动点，它们同时分别从点A，O向B点匀速运动，速度均为1厘米/秒，设移动的时间为t（0≤t≤4）秒．（1）求运动t秒时，P，Q两点的坐标．（用含t的式子表示）．
（2）若△OPQ的面积为Scm2，运动的时间为t秒，求S与t之间的函数关系式．当t为何值时，S有最大值？最大面积是多少？
（3）当t为何值时，直线PQ将△AOB的面积分成1：3两部分？
（4）按此速度运动下去，△OPQ能否成为正三角形？若能，求出时间t；若不能，请说明理由．能否通过改变Q点的速度，使△OPQ成为正三角形？若能，请求出改变后Q的速度和此时t的值．
【答案】分析：（1）作PM⊥OA于M，则PM∥OB，再根据平行线分线段成比例定理列出比例式；由勾股定理求出AB=5，而AP=t，根据比例式求出AM、PM的值，P点坐标即可得到，由
（2）根据三角形的面积公式，P点纵坐标与OQ的长度的积的一半就是△OPQ面积，整理后根据二次函数的最值问题求解即可；
（3）因为S△ABO=
OA×OB=
×3×4=6，又S△PQB=
BQ×Py=
×（4-t）（3-
t），若直线PQ将△AOB的面积分成1：3两部分
则当
×（4-t）（3-
t）=
×6或
×（4-t）（3-
t）=
×6，分别求出符合题意的t值即可；
（4）按此速度运动下去，△OPQ不能成为正三角形根据正三角形的性质PN垂直平分边OQ，所以无论t为何值时，△OPQ都不可能为正三角形；改变Q点速度根据正三角形的性质，0Q=2ON，PN=
OQ，分别列式求解即可得到Q点运动速度和时间t．
解答：解：（1）作PM⊥OA于M，则PM∥OB，
∴AM：AO=PM：BO=AP：AB，
∵OA=3cm，OB=4cm，
∴在Rt△OAB中，AB=
=5=5cm，
∵AP=1•t=t，
∴
，
∴PM=
t，AM=
t，
∴OM=OA-AM=3-
t，
∴点P的坐标为（
t，3-
t），
∵Q点的运动速度是速度为1厘米/秒，
∴OQ=1×t，
∴Q的坐标是（t，0）；
（2）OQ=1•t=tcm，
∴S△OPQ=
×t×（3-
t）=-
（t-
）2+
，
∵a=-
＜0，
∴当t=
时，S最大=
；
（3）∵S△ABO=
OA×OB=
×3×4=6，
又S△PQB=
BQ×Py=
×（4-t）（3-
t），
当
×（4-t）（3-
t）=
×6时，则t=
（舍去）或
；
当
×（4-t）（3-
t）=
×6时，则t=
（舍去）或
，
∴当t=
或
时，直线PQ将△AOB的面积分成1：3两部分；
（4）按此速度运动下去，△OPQ不能成为正三角形，理由如下：过点P作PN⊥OQ，
∵OP2=PN2+ON2=PN2+（
t）2，QP2=PN2+QN2=PN2+（
t）2，
要使△OPQ成为等边三角形，则PN2+（
t）2=PN2+（
t）2，
∴t=0，但此时不存在三角形，
∴按此速度运动下去，△OPQ不能成为正三角形，
设Q点运动的速度为k，若△OPQ为正三角形，则OP=PQ=OQ，OQ=2ON，
∴kt=2×
t，k=
，
此时PN=OP•sin60°=
OP=
OQ，
即：3-
t=
×
t，
解得：t=
，
∴当Q的运动速度为
cm/s是，△△OPQ成为正三角形，此时t=
．
点评：此题考查了勾股定理、相似三角形对应边成比例的性质、等边三角形的高与底边的性质，二次函数最值问题以及相似三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是数形结合思想与函数思想的应用，注意辅助线的作法，只要肯于动脑也不难解决．
（2）根据三角形的面积公式，P点纵坐标与OQ的长度的积的一半就是△OPQ面积，整理后根据二次函数的最值问题求解即可；
（3）因为S△ABO=
OA×OB=×3×4=6，又S△PQB=BQ×Py=×（4-t）（3-t），若直线PQ将△AOB的面积分成1：3两部分则当
×（4-t）（3-t）=×6或×（4-t）（3-t）=×6，分别求出符合题意的t值即可；（4）按此速度运动下去，△OPQ不能成为正三角形根据正三角形的性质PN垂直平分边OQ，所以无论t为何值时，△OPQ都不可能为正三角形；改变Q点速度根据正三角形的性质，0Q=2ON，PN=
OQ，分别列式求解即可得到Q点运动速度和时间t．解答：解：（1）作PM⊥OA于M，则PM∥OB，
∴AM：AO=PM：BO=AP：AB，
∵OA=3cm，OB=4cm，
∴在Rt△OAB中，AB=
=5=5cm，∵AP=1•t=t，
∴
，∴PM=
t，AM=t，∴OM=OA-AM=3-
t，∴点P的坐标为（
t，3-t），∵Q点的运动速度是速度为1厘米/秒，
∴OQ=1×t，
∴Q的坐标是（t，0）；
（2）OQ=1•t=tcm，
∴S△OPQ=
×t×（3-t）=-（t-）2+，∵a=-
＜0，∴当t=
时，S最大=；（3）∵S△ABO=
OA×OB=×3×4=6，又S△PQB=
BQ×Py=×（4-t）（3-t），当
×（4-t）（3-t）=×6时，则t=（舍去）或；当
×（4-t）（3-t）=×6时，则t=（舍去）或，∴当t=
或时，直线PQ将△AOB的面积分成1：3两部分；（4）按此速度运动下去，△OPQ不能成为正三角形，理由如下：过点P作PN⊥OQ，
∵OP2=PN2+ON2=PN2+（
t）2，QP2=PN2+QN2=PN2+（t）2，要使△OPQ成为等边三角形，则PN2+（
t）2=PN2+（t）2，∴t=0，但此时不存在三角形，
∴按此速度运动下去，△OPQ不能成为正三角形，
设Q点运动的速度为k，若△OPQ为正三角形，则OP=PQ=OQ，OQ=2ON，
∴kt=2×
t，k=，此时PN=OP•sin60°=
OP=OQ，即：3-
t=×t，解得：t=
，∴当Q的运动速度为
cm/s是，△△OPQ成为正三角形，此时t=．点评：此题考查了勾股定理、相似三角形对应边成比例的性质、等边三角形的高与底边的性质，二次函数最值问题以及相似三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是数形结合思想与函数思想的应用，注意辅助线的作法，只要肯于动脑也不难解决．
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