题目内容
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标是M（1，2），并且经过点C
（0，3），抛物线与直线x=2交于点P，（1）求抛物线的函数解析式；
（2）在直线上取点A（2，5），求△PAM的面积；
（3）抛物线上是否存在点Q，使△QAM的面积与△PAM的面积相等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）题可以利用二次函数顶点式求出解析式；
（2）题抛物线与直线x=2交于点P，直接将两式联立可以求出；
（3）题存在两种情况Q点在AM的上方或下方分别分析，可以求出．
（2）题抛物线与直线x=2交于点P，直接将两式联立可以求出；
（3）题存在两种情况Q点在AM的上方或下方分别分析，可以求出．
解答：解：（1）设抛物线的函数解析式y=a（x-1）2+2．
把x=0，y=3代入y=a（x-1）2+2中，得a=1，
∴函数解析式y=（x-1）2+2．
（2）把x=2代入y=（x-1）2+2，得y=3．
∴P（2，3），AP=2．
∴S△PAM=
×AP•MF，
=
×2×1=1
（3）由A（2，5），M（1，2）得到直线AM函数解析式y=3x-1．
①当点Q落在直线AM的下方时，过P作直线PD∥AM，交y轴于点D，
直线PD的函数解析式为y=3x+k．
把x=2，y=3代入y=3x+k得k=-3，
∴PD的函数解析式为y=3x-3．
∴
得Q（3，6）．
∴此时抛物线上存在点Q（3，6），使△QMA与△APM的面积相等．
②P关于点A的对称点的坐标是H（2，7）
当点Q落在直线AM的上方时，过H作直线HE∥AM，交y轴于点E，
直线HE的函数解析式为y=3x+k．
把（2，7）代入y=3x+k得k=1．
HE的函数解析式为y=3x+1．
∴
得Q(
，
)或(
，
)．
综上所述，抛物线上存在点Q（3，6）或Q(
，
)或(
，
)使△QMA与△APM的面积相等．
把x=0，y=3代入y=a（x-1）2+2中，得a=1，
∴函数解析式y=（x-1）2+2．
（2）把x=2代入y=（x-1）2+2，得y=3．
∴P（2，3），AP=2．
∴S△PAM=
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
（3）由A（2，5），M（1，2）得到直线AM函数解析式y=3x-1．
①当点Q落在直线AM的下方时，过P作直线PD∥AM，交y轴于点D，
直线PD的函数解析式为y=3x+k．
把x=2，y=3代入y=3x+k得k=-3，
∴PD的函数解析式为y=3x-3．
∴
|
∴此时抛物线上存在点Q（3，6），使△QMA与△APM的面积相等．
②P关于点A的对称点的坐标是H（2，7）
当点Q落在直线AM的上方时，过H作直线HE∥AM，交y轴于点E，
直线HE的函数解析式为y=3x+k．
把（2，7）代入y=3x+k得k=1．
HE的函数解析式为y=3x+1．
∴
|
得Q(
5+
| ||
| 2 |
17+3
| ||
| 2 |
5-
| ||
| 2 |
17-3
| ||
| 2 |
综上所述，抛物线上存在点Q（3，6）或Q(
5+
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| 2 |
17+3
| ||
| 2 |
5-
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| 2 |
17-3
| ||
| 2 |
点评：此题主要考查了顶点式求二次函数解析式，以及一次函数与二次函数综合应用，三角形同底等高面积相等，综合性比较强．
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