题目内容
操作：如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．
说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．
注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得5分．
AN=NC（如图②）；②DM∥AC（如图③）．
附加题：若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其它条件不变，再探线段BM、MN、NC之间的关系，在图④中画出图形，并说明理由．
【答案】分析：根据已知先证明Rt△BDM≌Rt△CDM1从而得到BM=CM1，然后再证明△MDN≌△M1DN，从而推出MN=NM1=NC-CM1=NC-MB．
在证明时，需添加辅助线，采用“截长补短”法，借助三角形全等进行证明．
解答：
解：（1）BM+CN=MN
证明：如图，延长AC至M1，使CM1=BM，连接DM1
由已知条件知：∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°．
∵BD=CD，
∴Rt△BDM≌Rt△CDM1
∴∠MDB=∠M1DC，DM=DM1
∴∠MDM1=（120°-∠MDB）+∠M1DC=120°．
又∵∠MDN=60°，
∴∠M1DN=∠MDN=60°．
∴△MDN≌△M1DN．
∴MN=NM1=NC+CM1=NC+MB．
（2）附加题：CN-BM=MN
证明：如图，在CN上截取CM1，使CM1=BM，连接MN，DM1
∵∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠DBM=∠DCM1=90°．
∵BD=CD，
∴Rt△BDM≌Rt△CDM1
∴∠MDB=∠M1DC，DM=DM1
∵∠BDM+∠BDN=60°，
∴∠CDM1+∠BDN=60°．
∴∠NDM1=∠BDC-（∠M1DC+∠BDN）=120°-60°=60°．
∴∠M1DN=∠MDN．
∵ND=ND，
∴△MDN≌△M1DN．
∴MN=NM1=NC-CM1=NC-MB．
点评：此题主要考查等边三角形，等腰三角形的性质及三角形全等的判定等知识；正确作出辅助线是解答本题的关键．该题是一个纯图形探索证明题，注意培养自己的探索精神和钻研精神．
在证明时，需添加辅助线，采用“截长补短”法，借助三角形全等进行证明．
解答：
解：（1）BM+CN=MN证明：如图，延长AC至M1，使CM1=BM，连接DM1
由已知条件知：∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°．
∵BD=CD，
∴Rt△BDM≌Rt△CDM1
∴∠MDB=∠M1DC，DM=DM1
∴∠MDM1=（120°-∠MDB）+∠M1DC=120°．
又∵∠MDN=60°，
∴∠M1DN=∠MDN=60°．
∴△MDN≌△M1DN．
∴MN=NM1=NC+CM1=NC+MB．
（2）附加题：CN-BM=MN
证明：如图，在CN上截取CM1，使CM1=BM，连接MN，DM1
∵∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠DBM=∠DCM1=90°．
∵BD=CD，
∴Rt△BDM≌Rt△CDM1
∴∠MDB=∠M1DC，DM=DM1
∵∠BDM+∠BDN=60°，
∴∠CDM1+∠BDN=60°．
∴∠NDM1=∠BDC-（∠M1DC+∠BDN）=120°-60°=60°．
∴∠M1DN=∠MDN．
∵ND=ND，
∴△MDN≌△M1DN．
∴MN=NM1=NC-CM1=NC-MB．
点评：此题主要考查等边三角形，等腰三角形的性质及三角形全等的判定等知识；正确作出辅助线是解答本题的关键．该题是一个纯图形探索证明题，注意培养自己的探索精神和钻研精神．
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