题目内容
【题目】（1）（方法回顾）连接三角形任意两边中点的线段叫三角形的中位线，探索三角形中位线的性质，方法如下：
①如图1，D、E分别是AB、AC中点，延长DE到F，使EF=DE，连接CF；
②证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形，从而得到线段DE与BC的位置关系和数量关系分别为_______、________；
（2）（初步运用）如图2，正方形ABCD中，E为边AD中点，G、F分别在边AB、CD上，且AG＝2，DF＝3，∠GEF＝90°，求GF长．
（3）（拓展延伸）如图3，四边形ABCD中，∠A＝100°，∠D＝110°，E为AD中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝2，DF＝
，∠GEF＝90°，求GF长．
【答案】（1）DE//BC，DE=
BC；（2）GF长为5；（3）GF长为
．
【解析】
（1）根据材料提供的思路进行证明即可；
（2）延长GE、FD交于点H，可证得△AEG≌△DEH，结合条件可证明EF垂直平分GH，可得GF=FH，可求得GF的长；
（3）过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H，过H作CD的垂线，垂足为P，连接HF，可证明△AEG≌△DEH，结合条件可得到△HPD为30度的直角三角形，可求得PF的长，在Rt△HFP中，可求得HF，则可求得GF的长．
解：（1）如图1，在△ABC中，延长DE到点F，使得EF=DE，连接CF，
E是AC的中点，
在△ADE和△CFE中
∵
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴AD=CF，∠A=∠ECF
∴AD∥CF
∵AD=BD
∴BD=CF，
∵BD∥CF
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DE∥BC，DF=BC ∴DE=DF=BC．
故答案为：DE//BC，DE=BC；
（2）如图2，延长GE、FD交于点H，
∵E为AD中点，
∴EA=ED，且∠A=∠EDH=90°，
在△AEG和△DEH中，
∴△AEG≌△DEH（ASA），
∴AG=HD=2，EG=EH，
∵∠GEF=90°，
∴EF垂直平分GH，
∴GF=HF=DH+DF=2+3=5；
（3）如图3，过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H，过H作CD的垂线，垂足为P，连接HF，
同（2）可知△AEG≌△DEH，GF=HF，
∴∠A=∠HDE=100°，AG=HD=2，
∵∠ADC=110°，
∴∠HDF=360°-100°-110°=150°，
∴∠HDP=30°，
∵∠DPH=90°
∴PH=1，PD=
，
∵DF=
，
∴PF=PD+DF=
在Rt△HFP中，∠HPF=90°，HP=1，PF=
，
∴HF=
∴GF=FH=
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