Question

【题目】综合与探究：

如图在等边三角形ABC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边三角形CDE，连接BE．

（1）填空：∠CAM＝　 　；

（2）若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC；

（3）当动点D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，

①当点D在线段AM上时，求∠AOB的度数；

②当动点D在直线AM上时，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）详见解析；（3）①60°；②∠AOB是定值，∠AOB＝60°，理由详见解析．

【解析】

（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；

（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，由等式的性质就可以∠BCE＝∠ACD，根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC；

（3）①由（2）可知△ACD≌△BCE，则∠CBE＝∠CAD＝30°，由等边三角形的性质得出AM⊥BC，即可得出答案；

②分情况讨论，当点D在线段AM上时，由①得：∠AOB＝60°；

当点D在线段AM的延长线上时，证明△ACD≌△BCE（SAS），得出∠CBE＝∠CAD＝30°即可得出答案；

当点D在线段MA的延长线上时，证明△ACD≌△BCE（SAS），得出∠CBE＝∠CAD，同理得出∠CAM＝30°，求出∠CBE＝∠CAD＝150°，得出∠CBO＝30°，即可得出答案．

（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC＝60°，

∵线段AM为BC边上的中线，

∴∠CAM＝∠BAC，

∴∠CAM＝30°，

故答案为：30°；

（2）证明：∵△ABC与△DEC都是等边三角形，

∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，

∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE，

∴∠ACD＝∠BCE，

在△ADC和△BEC中，，

∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（3）①当点D在线段AM上时，如图1所示：

由（2）可知△ACD≌△BCE，则∠CBE＝∠CAD＝30°，

∵△ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线

∴AM⊥BC，

∴∠BMO＝90°，

∴∠AOB＝90°﹣∠CBE＝90°﹣30°＝60°；

②∠AOB是定值，∠AOB＝60°，理由如下：

当点D在线段AM上时，由①得：∠AOB＝60°；

当点D在线段AM的延长线上时，如图2所示：

∵△ABC与△DEC都是等边三角形，

∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，

∴∠ACB+∠DCB＝∠DCB+∠DCE，

∴∠ACD＝∠BCE，

在△ACD和△BCE中，，

∴△ACD≌△BCE（SAS）

∴∠CBE＝∠CAD＝30°，

∴∠AOB＝90°﹣∠CBE＝90°﹣30°＝60°；

当点D在线段MA的延长线上时，如图3所示：

∵△ABC与△DEC都是等边三角形，

∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，

∴∠ACD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE＝60°，

∴∠ACD＝∠BCE，

在△ACD和△BCE中，，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴∠CBE＝∠CAD，

同理可得：∠CAM＝30°

∴∠CBE＝∠CAD＝150°

∴∠CBO＝30°，

∴∠AOB＝90°﹣∠CBO＝90°﹣30°＝60°；

综上所述，当动点D在直线AM上时，∠AOB是定值，∠AOB＝60°．