Question

【题目】如图，边长为a的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成四个小矩形，EF与GH交于点P，连接AF、AH、FH．

（1）如图1，若a＝1，AE＝AG＝，求FH的值；

（2）如图2，若∠FAH＝45°，证明：AG+AE＝FH；

（3）若Rt△GBF的周长l＝a，求矩形EPHD的面积S与l的关系（只写结果，不写过程）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析；（3）S＝．

【解析】

（1）由正方形的性质和矩形的性质可求CF＝CH＝，由勾股定理可求解；

（2）将△ADH绕点A顺时针旋转90°后，可得△AFH≌△AFM然后可求得结论；

（3）设BF＝x，GB＝y，根据线段之间的关系利用勾股定理求出xy的值，即可求矩形EPHD的面积S与l的关系．

解：（1）∵AE＝AG＝，AB＝AD＝1，

∴DE＝GB＝，

∵BC∥GH，BG∥CH，

∴CH＝GB＝，

∵DE∥CF，EF∥CD，

∴CF＝DE＝，

∴FH＝；

（2）如图2，将△ADH绕点A顺时针旋转90°到△ABM的位置．

∵四边形ABCD是正方形，∠FAH＝45°，

∴∠BAF+∠HAD＝45°，

∴根据旋转的性质知，∠MAB＝∠BAF，

∴∠MAF＝∠FAH，

在△AMF与△AHF中，

，

∴△AMF≌△AHF（SAS）．

∴MF＝HF．

∵MF＝MB+BF＝HD+BF＝AG+AE，

∴AG+AE＝FH；

（3）设BF＝x，GB＝y，则FC＝a﹣x，AG＝a﹣y，（0＜x＜a，0＜y＜a）

在Rt△GBF中，GF2＝BF2+BG2＝x2+y2

∵Rt△GBF的周长为a，

∴，

即

即

整理得，

∴矩形EPHD的面积．