Question

【题目】问题提出

旋转是图形的一种变换方式，利用旋转来解决几何问题往往可以使解题过程更简单，起到事半功倍的效果．

初步思考

（）如图①，点是等边内部一点，且， ， ．求的长．

小敏在解答此题时，利用了“旋转法”进行证明，她的方法如下：

如图②，将绕点按顺时针方向旋转后得到，连接．（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）

推广运用

（）如图③，在中， ， ，点 是内部一点，且， ， ．求的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）只要证明△ADP是等边三角形，△PDB是直角三角形，两个勾股定理即可解决问题；（2）如图，作∠CAD=∠BAP，使AD=AP．连接CD、PD．只要证明△DPC是直角三角形，即可解决问题；

试题解析：（）∵将绕点按顺时针方向旋转得到，

∴， ， ， ．

∵， ，

∴为等边三角形 ．

∴， ．

又，

∴．

在中， ， ，

∴．

（2）如图，作，使．连接、，

∵， ，

∴，

又，

∴，

∴，

在中， ， ， ，

易证， ．

∴．

在中，由勾股定理可得， ．