题目内容

如图，抛物线y=ax²+bx+4与x轴交于A（-2，0）、B（4、0）两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）T是抛物线对称轴上的一点，且△ATC是以AC为底的等腰三角形，求点T的坐标；
（3）M、Q两点分别从A、B点以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行，当点M到原点时，点Q立刻掉头并以每秒 $数学公式$ 个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动，过点M的直线l⊥x轴交AC或BC于点P．求点M的运动时间t与△APQ面积S的函数关系式，并求出S的最大值．

解：（1）把A（-2，0），B（4，0）代入y=ax²+bx+4得：
$\text{[math]}$ ，
解得：a=- $\text{[math]}$ ，b=1，
∴抛物线的解析式是：y=- $\text{[math]}$ x²+x+4，
答：抛物线的解析式是y=- $\text{[math]}$ x²+x+4．

（2）由y=- $\text{[math]}$ x²+x+4=- $\text{[math]}$ （x-1）²+ $\text{[math]}$ ，得抛物线的对称轴为直线x=1，
直线x=1交x轴于点D，设直线x=1上一点T（1，h），

连接TC、TA，作CE⊥直线x=1，垂足是E，
由C（0，4）得点E（1，4），
在Rt△ADT和Rt△TEC中，由TA=TC得3²+h²=1²+（4-h）²，
∴h=1，
∴T的坐标是（1，1），
答：点T的坐标是（1，1）．

（3）（I）当0＜t≤2时，△AMP∽△AOC，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，PM=2t，
AQ=6-t，
∴S= $\text{[math]}$ PM•AQ= $\text{[math]}$ ×2t（6-t）=-t²+6t=-（t-3）²+9，
当t=2时S的最大值为8；
（II）当2＜t≤3时，
作PM⊥x轴于M，作PF⊥y轴于点F，

则△COB∽△CFP，
又∵CO=OB，
∴FP=FC=t-2，PM=4-（t-2）=6-t，AQ=4+ $\text{[math]}$ （t-2）= $\text{[math]}$ t+1，
∴S= $\text{[math]}$ PM•AQ= $\text{[math]}$ （6-t）（ $\text{[math]}$ t+1）=- $\text{[math]}$ t²+4t+3=- $\text{[math]}$ （t- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ，
当t= $\text{[math]}$ 时，S最大值为 $\text{[math]}$ ，
综合（I）（II）S的最大值为 $\text{[math]}$ ，
答：点M的运动时间t与△APQ面积S的函数关系式是S=-t²+6t（0＜t≤2），S= $\text{[math]}$ t²+4t（2＜t≤3），S的最大值是 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）把A、B的坐标代入抛物线的解析式得到方程组，求出方程组的解即可；
（2）设直线x=1上一点T（1，h），连接TC、TA，作CE⊥直线x=1，垂足是E，根据TA=TC由勾股定理求出即可；
（3）（I）当0＜t≤2时，△AMP∽△AOC，推出比例式，求出PM，AQ，根据三角形的面积公式求出即可；
（II）当2＜t≤3时，作PM⊥x轴于M，PF⊥y轴于点F，表示出三角形APQ的面积，利用配方法求出最值即可．
点评：本题主要考查对解二元一次方程组，用待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的最值等知识点的连接和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．